Question

已知函數(shù)f（x）=x²-alnx（a∈R）
（1）若函數(shù)f（x）在x=2處的切線方程為y=x+b，求a，b的值．
（2）若函數(shù)f（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=x²-alnx，∴f'（x）=x-，其中（x＞0）
∵f（x）在x=2處的切線方程為y=x+b
∴f'（2）=2-=1，解之得a=2，
由此可得函數(shù)表達(dá)式為f（x）=x²-2lnx，得f（2）=2-2ln2
∴切點（2，2-2ln2）在直線y=x+b上，可得2-2ln2=2+b，解之得b=-2ln2
綜上所述，a=2且b=-2ln2；
（2）∵f（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)，
∴f'（x）≥0，即x-≥0在（1，+∞）上恒成立
結(jié)合x為正數(shù)，可得a≤x²在（1，+∞）上恒成立
而在區(qū)間（1，+∞）上x²＞1，故a≤1
∴滿足條件的實數(shù)a的取值范圍為（-∞，1]．
分析：（1）根據(jù)切線的斜率為1，得到f'（2）=1，解之得a=2；從而得到f（x）=x²-2lnx，算出切點坐標(biāo)為（2，2-2ln2），再代入直線y=x+b，即可求出實數(shù)b的值．
（2）根據(jù)題意，f'（x）≥0在（1，+∞）上恒成立，由此得到關(guān)于x的不等式a≤x²在（1，+∞）上恒成立，再討論x²的取值范圍，即可得到a的取值范圍．
點評：本題給出含有二次式和對數(shù)式的基本函數(shù)，求函數(shù)圖象的切線并討論不等式恒成立，著重考查了運用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的幾何意義等知識，屬于中檔題．