Question

【題目】設(shè)整數(shù)集合,其中 ，且對(duì)于任意，若，則

（1）請(qǐng)寫出一個(gè)滿足條件的集合;

（2）證明:任意;

（3）若,求滿足條件的集合的個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析 （3）16個(gè)

【解析】

（1）根據(jù)題目條件，令，即可寫出一個(gè)集合；

（2）由反證法即可證明；

（3）因?yàn)槿我獾?/span>，所以集合中至多5個(gè)元素.設(shè)，先通過判斷集合中前個(gè)元素的最大值可以推出，故集合的個(gè)數(shù)與集合的子集個(gè)數(shù)相同，即可求出．

（1）答案不唯一． 如；

（2）假設(shè)存在一個(gè)使得，

令，其中且，

由題意，得，

由為正整數(shù)，得，這與為集合中的最大元素矛盾，

所以任意，．

（3）設(shè)集合中有個(gè)元素，，

由題意，得，，

由（2）知，．

假設(shè)，則．

因?yàn)?/span>，

由題設(shè)條件，得，

因?yàn)?/span>，

所以由（2）可得，

這與為中不超過的最大元素矛盾，

所以，

又因?yàn)?/span>，，

所以．

任給集合的元子集，令，

以下證明集合符合題意：

對(duì)于任意，則．

若，則有，

所以，，從而．

故集合符合題意，

所以滿足條件的集合的個(gè)數(shù)與集合的子集個(gè)數(shù)相同，

故滿足條件的集合有個(gè)．