Question

如果f（x）的圖象關于y軸對稱，而且在區(qū)間[0，+∞）為增函數(shù)，又f（-2）=0，那么（x-1）f（x）＜0的解集為

{x|0＜x＜2或x＜-2}

．

Answer 1

分析：根據(jù)f（x）的圖象關于y軸對稱，可得f（x）為偶函數(shù)，由此可得f（-2）=f（2）=0，且f（x）在（-∞，0]上是減函數(shù)．因此將不等式（x-1）f（x）＜0進行等價變形，得到關于x的不等式組，再根據(jù)函數(shù)的單調性進行分類討論，即可得出原不等式的解集．

解答：解：∵f（x）的圖象關于y軸對稱，
∴函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，可得f（-2）=f（2）=0，
∵偶函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）為增函數(shù)，
∴f（x）在區(qū)間（-∞，0]為減函數(shù)，
不等式（x-1）f（x）＜0等價于

x-1＞0 f(x)＜0

或

x-1＜0 f(x)＞0

當x-1＞0時，不等式f（x）＜0成立，即f（x）＜f（2），結合單調性可得0＜x＜2；
當x-1＜0時，不等式f（x）＞0成立，即f（x）＞f（-2），結合單調性可得x＜-2．
綜上所述，可得（x-1）f（x）＜0的解集為{x|0＜x＜2或x＜-2}
故答案為：{x|0＜x＜2或x＜-2}

點評：本題給出函數(shù)的單調性，求解關于x的不等式．著重考查了函數(shù)的奇偶性、單調性和不等式的解法等知識，屬于中檔題．