Question

已知三個(gè)銳角A、B、C成等差數(shù)列且sinA、sinB、sinC成等比數(shù)列．求證：A=B=C．

Answer 1

分析：先根據(jù)A、B、C成等差數(shù)列，求得B，再根據(jù)sinA、sinB、sinC成等比數(shù)列，得即（

3

2

）²=（sinA）•sin（120°-A），化簡整理即可求得sin（2A-30°）進(jìn)而求得A和C都是60°，原式得證．

解答：證明：∵三個(gè)銳角A、B、C成等差數(shù)列，
∴2B=A+C
∵A+B+C=180°
∴B=60°，C=120°-A，
∵sinA、sinB、sinC成等比數(shù)列，即（

3

2

）²=（sinA）•sin（120°-A），
化簡，得

3

4

sin2A-

1

4

cos2A=

1

2

，
∴sin（2A-30°）=1，因?yàn)閍為銳角，所以2A-30°=90°，A=60°，則C=60°，
∴A=B=C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列在解三角形中的應(yīng)用．等差中項(xiàng)和等比中項(xiàng)的利用是解本題的關(guān)鍵．