Question

5．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{{x^2}+1}}{x}$，
（1）求f（x）的定義域；
（2）證明f（x）函數(shù)為奇函數(shù)；
（3）判別并證明函數(shù)在區(qū)間（-∞，-1）上的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)成立的條件即可求函數(shù)的定義域．
（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷即可．
（3）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行判斷和證明．

解答 解：（1）要使函數(shù)有意義，則x≠0，即f（x）的定義域?yàn)閧x|x≠0}；
（2）f（-x）=$\frac{{x}^{2}+1}{-x}$=-$\frac{{{x^2}+1}}{x}$=-f（x），
則f（x）函數(shù)為奇函數(shù)；
（3）f（x）=$\frac{{{x^2}+1}}{x}$=x+$\frac{1}{x}$，
設(shè)x₁＜x₂＜-1，
則f（x₁）-f（x₂）=x₁+$\frac{1}{{x}_{1}}$-x₂-$\frac{1}{{x}_{2}}$=（x₁-x₂）+$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=（x₁-x₂）（1-$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$）=（x₁-x₂）•$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-1}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
∵x₁＜x₂＜-1，
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞1，
則x₁x₂-1＞0，
f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）•$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-1}{{x}_{1}{x}_{2}}$＜0，
則f（x₁）＜f（x₂），
即函數(shù)在區(qū)間（-∞，-1）上的單調(diào)性．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷和證明，利用定義法是解決本題的關(guān)鍵．