定義在R上的函數(shù)f(x)滿足:如果對(duì)任意x1、x2∈R都有f()≤［f(x1)+f(x2)］,則稱f(x)為R上的凹函數(shù),已知二次函數(shù)f(x)=ax2+x(a∈R,a≠0).??

(1)求證:當(dāng)a＞0時(shí),函數(shù)f(x)是凹函數(shù);?

(2)若x∈［0,1］時(shí),|f(x)|≤1,試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.??

(1)證明:對(duì)任意x1、x2∈R,∵a＞0,?

∴［f(x1)+f(x2)］-2f()?

=ax12+x1+ax22+x2-2［a()2+］??

=ax12+ax22-a(x12+x22+2x1x2)?

=a(x1-x2)2≥0.?

∴f()≤［f(x1)+f(x2)］.?

∴f(x)為凹函數(shù).?

(2)解析:由|f(x)|≤1-1≤f(x)≤1-1≤ax2+x≤1.(*)?

當(dāng)x=0時(shí),a∈R;?

當(dāng)x∈(0,1］時(shí),(*)即?

恒成立.?

∵x∈(0,1］,

∴≥1.?

∴當(dāng)=1時(shí),-(+)2+取得最大值是-2;?

當(dāng)=1時(shí),(- )2-取得最小值0.?

∴-2≤a≤0,結(jié)合a≠0,得-2≤a＜0.??

綜上,a的范圍是［-2,0).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

定義在R上的函數(shù)f（x）既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)，若f（x）的最小正周期是π，且當(dāng)x∈[0，
π
2
]時(shí)，f（x）=sinx，則f（
5π
3
）的值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

20、已知定義在R上的函數(shù)f（x）=-2x3+bx2+cx（b，c∈R），函數(shù)F（x）=f（x）-3x2是奇函數(shù)，函數(shù)f（x）在x=-1處取極值．
（1）求f（x）的解析式；
（2）討論f（x）在區(qū)間[-3，3]上的單調(diào)性．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f(x+2)=
1-f(x)1+f(x)
，當(dāng)x∈（0，4）時(shí)，f（x）=x2-1，則f（2010）=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知定義在R上的函數(shù)f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|≤
π
2
），最大值與最小值的差為4，相鄰兩個(gè)最低點(diǎn)之間距離為π，函數(shù)y=sin（2x+
π
3
）圖象所有對(duì)稱中心都在f（x）圖象的對(duì)稱軸上．
（1）求f（x）的表達(dá)式；    
（2）若f（
x0
2
）=
3
2
（x0∈[-
π
2
，
π
2
]），求cos（x0-
π
3
）的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知定義在R上的函數(shù)f（x）的圖象是連續(xù)不斷的，且有如下對(duì)應(yīng)值表：
x 0 1 2 3
f（x） 3.1 0.1 -0.9 -3
那么函數(shù)f（x）一定存在零點(diǎn)的區(qū)間是（　�。�

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