Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c．
（1）若a＞b＞c，且f（1）=0，證明f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)；
（2）若x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，f（x₁）≠f（x₂），證明方程f(x)-

1

2

[f(x1)+f(x2)]=0在區(qū)間（x₁，x₂）內(nèi)有一個(gè)實(shí)根．

Answer 1

分析：（1）利用不等式的基本性質(zhì)和判別式即可判斷方程f（x）=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根即可證明；
（2）構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，利用函數(shù)零點(diǎn)的判定定理即可證明．

解答：證明：（1）∵f（1）=0，∴a+b+c=0，
又∵a＞b＞c，∴3a＞a+b+c＞3c，即a＞0＞c．
∴a＞0，c＜0，即ac＜0，
∴△=b²-4ac≥-4ac＞0，
∴方程ax²+bx+c=0有兩個(gè)不等實(shí)根，∴f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)． 
（2）設(shè)g(x)=f(x)-

1

2

[f(x1)+f(x2]，
則g(x1)=f(x1)-

1

2

[f(x1)+f(x2)]=

1

2

[f(x1)-f(x2)]，
g(x2)=f(x2)-

1

2

[f(x1)+f(x2)]=

1

2

[f(x2)-f(x1)]，
g(x1)•g(x2)=

1

2

[f(x1)-f(x2)]•

1

2

[f(x2)-f(x1)]=-

1

4

[f(x1)-f(x2)]2，
∵f（x₁）≠f（x₂），∴g（x₁）•g（x₂）＜0，
又函數(shù)g（x）在區(qū)間[x₁，x₂]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，由函數(shù)零點(diǎn)的判定定理可得：
g（x）=0在（x₁，x₂）內(nèi)有一個(gè)實(shí)根．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)、不等式的基本性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查化歸轉(zhuǎn)化、構(gòu)造函數(shù)的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證能力、運(yùn)算求解能力．