Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，S_n＝2－(＋1)a_n(n≥1)．

(1)求證：數(shù)列{}是等比數(shù)列；

(2)設(shè)數(shù)列{2ⁿa_n}的前n項(xiàng)和為T_n，A_n＝．試比較A_n與的大�。�

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由a1＝S1＝2－3a1得a1＝　　1分 　　由Sn＝2－(＋1)an得Sn－1＝2－(＋1)an－1， 　　于是an＝Sn－Sn－1＝(＋1)an－1－(＋1)an， 　　整理得＝×(n≥2)　　4分 　　所以數(shù)列{}是首項(xiàng)及公比均為的等比數(shù)列　　5分 　　(2)由(Ⅰ)得＝×＝．　　　　　6分 　　于是2nan＝n，Tn＝1＋2＋3＋…＋n＝　　7分 　　， 　　An＝2[(1－)＋(－)＋…＋＝2(1－)＝　　9分 　　又＝，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為比較與的大小，即與的大小． 　　設(shè)f(n)＝，g(n)＝． 　　∵f(n＋1)－f(n)＝，當(dāng)n≥3時(shí)，f(n＋1)－f(n)＞0， 　　∴當(dāng)n≥3時(shí)f(n)單調(diào)遞增　　11分 　　∴當(dāng)n≥4時(shí)，f(n)≥f(4)＝1，而g(n)＜1，∴當(dāng)n≥4時(shí)f(n)＞g(n)， 　　經(jīng)檢驗(yàn)n＝1，2，3時(shí)，仍有f(n)≥g(n)， 　　因此，對(duì)任意正整數(shù)n，都有f(n)＞g(n)， 　　即An＜　　13分