【題目】“城市呼喚綠化”，發(fā)展園林綠化事業(yè)是促進國家經(jīng)濟法陣和城市建設事業(yè)的重要組成部分，某城市響應城市綠化的號召，計劃建一如圖所示的三角形ABC形狀的主題公園，其中一邊利用現(xiàn)成的圍墻BC，長度為100 米，另外兩邊AB，AC使用某種新型材料圍成，已知∠BAC=120°，AB=x，AC=y（x，y單位均為米）．

（1）求x，y滿足的關系式（指出x，y的取值范圍）；
（2）在保證圍成的是三角形公園的情況下，如何設計能使所用的新型材料總長度最短？最短長度是多少？

【答案】
（1）解：在△ABC中，由余弦定理，得AB2+AC2﹣2ABACcosA=BC2，

所以x2+y2﹣2xycos120°=30000，

即x2+y2+xy=30000，

又因為x＞0，y＞0，所以


（2）解：要使所用的新型材料總長度最短只需x+y的最小，

由（1）知，x2+y2+xy=30000，所以（x+y）2﹣30000=xy，

因為 ，所以 ，

則（x+y）2≤40000，即x+y≤200，

當且僅當x=y=100時，上式不等式成立．

故當AB，AC邊長均為100米時，所用材料長度最短為200米


【解析】（1）根據(jù)題意，由余弦定理可得x2+y2﹣2xycos120°=30000，變形可得x2+y2+xy=30000，分析x、y的取值范圍即可得答案；（2）由（1）可得x2+y2+xy=30000，對其變形可得（x+y）2﹣30000=xy，結合基本不等式可得 ，解可得x+y≤200，分析可得答案．
【考點精析】本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應用和余弦定理的定義的相關知識點，需要掌握用基本不等式求最值時（積定和最小，和定積最大），要注意滿足三個條件“一正、二定、三相等”；余弦定理:;;才能正確解答此題．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知向量 =（an ， 2n）， =（2n+1 ， ﹣an+1），n∈N* ， 向量 與 垂直，且a1=1
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）若數(shù)列{bn}滿足bn=log2an+1，求數(shù)列{anbn}的前n項和Sn ．

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【題目】已知函數(shù) .

（1）當時，求函數(shù) 的極小值；

（2）若函數(shù)在上為增函數(shù)，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某校有教職工500人，對他們進行年齡狀況和受教育程度的調(diào)查，其結果如下：

高中

專科

本科

研究生

合計

35歲以下

10

150

50

35

245

35﹣50

20

100

20

13

153

50歲以上

30

60

10

2

102

隨機的抽取一人，求下列事件的概率：
（1）50歲以上具有專科或?qū)？埔陨蠈W歷；
（2）具有本科學歷；
（3）不具有研究生學歷．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在等比數(shù)列{an}中，公比q≠1，等差數(shù)列{bn}滿足a1=b1=3，a2=b4 ， a3=b13 ．
（1）求數(shù)列{an}的{bn}通項公式；
（2）記cn=anbn ， 求數(shù)列{cn}的前n項和Sn ．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】若一個四位數(shù)的各位數(shù)字相加和為，則稱該數(shù)為“完美四位數(shù)”，如數(shù)字“”.試問用數(shù)字組成的無重復數(shù)字且大于的“完美四位數(shù)”有（ ）個

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】函數(shù)y=sin（2x+ ）cos（x﹣ ）+cos（2x+ ）sin（ ﹣x）的圖象的一條對稱軸方程是（ ）
A.x=
B.x=
C.x=π
D.x=

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】己知數(shù)列{an}的前n項和Sn= ，n∈N* ．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）設bn=2an+（﹣1）nan ， 求數(shù)列{bn}的前2n項和．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知f（x）=2x2﹣3x+1，g（x）=ksin（x﹣ ）（k≠0）．
（1）設f（x）的定義域為[0，3]，值域為A； g（x）的定義域為[0，3]，值域為B，且AB，求實數(shù)k的取值范圍．
（2）若方程f（sinx）+sinx﹣a=0在[0，2π）上恰有兩個解，求實數(shù)a的取值范圍．

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