Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+ax²-3x．
（Ⅰ）若f′（2）=1.5，求函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)．
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在[0.5，2]上是減函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，實(shí)質(zhì)是判斷函數(shù)的單調(diào)性，注意函數(shù)的定義域，利用導(dǎo)數(shù)問題得以解決．
（2）求參數(shù)的取值范圍，要進(jìn)行分類討論，不重不漏的原則．

解答： 解：（I）∵f（x）=lnx+ax²-3x，（x＞0）
∴f′(x)=

1

x

+2ax -3，
∴f′(2)=

1

2

+4a-3，
又f′（2）=1.5，
∴a=1，
∴f（x）=lnx+x²-3x，
∴f′(x)=

1

x

+2x -3=

2x2-3x+1

x

，
令f′（x）=0，解得，x=1，或x=

1

2

，
當(dāng)f′（x）＞0時(shí)，即x∈(1，+∞)或(0，

1

2

)時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)f′（x）＜0時(shí)x∈(

1

2

，1)函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
∴函函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)是：x=1，或x=

1

2

；
（II）原函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），
∴f′(x)=

2ax2-3x+1

x

．
∵函數(shù)f（x）在[0.5，2]上是減函數(shù)．
∴f′（x）≤0在[0.5，2]恒成立．
①當(dāng)a＞0時(shí)，設(shè)g（x）=2ax²-3x+1，（x∈[0.5，2]）
由題意得：對稱軸x=

3

4a

，
∴

1

2

≤

3

4

a≤2⇒

2

3

≤a≤

8

3

時(shí)，滿足g（x）≤0．
②當(dāng)a＜0時(shí)，只需要

3

4

a≤

1

2

即可，也就是說a≤

2

3

，
∴a＜0時(shí)滿足g（x）≤0．
③a=0時(shí)，函數(shù)g（x）=-3x+1單調(diào)遞減符合題意．
綜上所述：a的取值范圍為(-∞，0]∪[

2

3

，

8

3

]．

點(diǎn)評：本題是導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，再某個(gè)區(qū)間上有增函數(shù)又有減函數(shù)才有極值點(diǎn)，求參數(shù)的范圍，利用分類討論的思想，不重不漏．