Question

已知?jiǎng)訄AP過(guò)點(diǎn)F(0，

1

4

)且與直線y=-

1

4

相切．
（Ⅰ）求點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)F作一條直線交軌跡C于A，B兩點(diǎn)，軌跡C在A，B兩點(diǎn)處的切線相交于點(diǎn)N，M為線段AB的中點(diǎn)，求證：MN⊥x軸．

Answer 1

分析：（1）因由直線與圓相切知：點(diǎn)P到定直線與到定點(diǎn)的距離相等，結(jié)合拋物線的定義即可知點(diǎn)P的軌跡從而求出方程C的方程．
（2）先利用導(dǎo)數(shù)求出直線AN，BN的斜率，進(jìn)而求出直線AN，BN的方程，最后通過(guò)解方程求出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，它正好等于M的橫坐標(biāo)，從而解決問(wèn)題．

解答：解：（Ⅰ）根據(jù)拋物線的定義，
可得動(dòng)圓圓心P的軌跡C的方程為x²=y（4分）
（Ⅱ）證明：設(shè)A（x₁，x₁²），B（x₂，x₂²），∵y=x²，
∴y′=2x，∴AN，BN的斜率分別
為2x₁，2x₂，故AN的方程為y-x₁²=2x₁（x-x₁），
BN的方程為y-x₂²=2x₂（x-x₂）（7分）
即

y=2x1x- x 2 1 y=2x2x- x 2 2

，兩式相減，得x=

x1+x2

2

，
∴M，N的橫坐標(biāo)相等，于是MN⊥x軸（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查“定義法”求曲線的軌跡方程，及轉(zhuǎn)化的能力，定義法：若動(dòng)點(diǎn)軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義（如橢圓、雙曲線、拋物線、圓等），可用定義直接探求．