Question

10．存在函數(shù)f（x）滿足，對任意x∈R都有④（填寫所有正確結論的序號）
①f（sin2x）=sinx；
②f（sin2x）=x²+x；
③f（x²+1）=|x+1|；
④f（x²+2x）=|x+1|

Answer 1

分析 利用x取特殊值，通過函數(shù)的定義判斷正誤即可．

解答 解：①取x=0，則sin2x=0，∴f（0）=0；
取x=$\frac{π}{2}$，則sin2x=0，∴f（0）=1；
∴f（0）有兩個值0和1，不符合函數(shù)的定義；
∴不存在函數(shù)f（x），對任意x∈R都有f（sin2x）=sinx；
②取x=0，則f（0）=0；
取x=π，則f（0）=π²+π；
∴f（0）有兩個值0和π²+π，不符合函數(shù)的定義；
∴不存在函數(shù)f（x），對任意x∈R都有f（sin2x）=x²+x；
③取x=1，則f（2）=2，取x=-1，則f（2）=0；
這樣f（2）有兩個值0和2，不符合函數(shù)的定義；
∴不存在函數(shù)f（x），對任意x∈R都有f（x²+1）=|x+1|；
④令x+1=t，則f（x²+2x）=|x+1|，化為f（t²-1）=|t|；
令t²-1=x，則t=±$\sqrt{x+1}$；
∴f（x）=$\sqrt{x+1}$；
即存在函數(shù)f（x）=$\sqrt{x+1}$，對任意x∈R，都有f（x²+2x）=|x+1|；
∴該選項正確．
故答案為：④

點評 本題考查函數(shù)的定義的應用，基本知識的考查，但是思考問題解決問題的方法比較難．