Question

已知函數(shù)f（x）=ln（e^x+a）（a為常數(shù)，e是自然對數(shù)的底數(shù)）是實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)，函數(shù)g（x）=λf（x）+sinx是區(qū)間[-1，1]上的減函數(shù)．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若g（x）≤t²+λt+1在x∈[-1，1]及λ所在的取值范圍上恒成立，求t的取值范圍；
（Ⅲ）試討論函數(shù)h（x）=

lnx

f(x)

-x²+2ex-m的零點(diǎn)的個數(shù)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（x）=ln（e^x+a）是R上的奇函數(shù)，可得f（0）=0，從而可求a的值；
（Ⅱ）g（x）≤t²+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立，即g(x)max≤t2+λt+1，由此可求t的取值范圍；
（Ⅲ）討論函數(shù)h（x）=

lnx

x

-x2+2ex-m的零點(diǎn)的個數(shù)，即討論方程

lnx

x

=x2-2ex+m根的個數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，確定函數(shù)的最值，即可得到結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=ln（e^x+a）是R上的奇函數(shù)
∴f（0）=0，∴f（0）=ln（e⁰+a）=0
∴l(xiāng)n（1+a）=0，∴a=0…（4分）
（Ⅱ）由（I）知f（x）=x，∴g（x）=λx+sinx，∴g′（x）=λ+cosx
又∵g（x）在[-1，1]上單調(diào)遞減，
∴g'（x）≤0在[-1，1]上恒成立．
∴λ≤-cosx對x∈[-1，1]恒成立，
∵[-cosx]_min=-1，∴λ≤-1…（6分）
∵g（x）≤t²+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立，即g(x)max≤t2+λt+1…（7分）
∵g（x）_max=g（-1）=-λ-sin1，
∴-λ-sin1≤t²+λt+1，
即（t+1）λ+t²+sin1+1≥0對λ≤-1恒成立
令F（λ）=（t+1）λ+t²+sin1+1（λ≤-1），則

t+1≤0 -t-1+t2+sin1+1≥0

…（8分）
∴

t≤-1 t2-t+sin1≥0

，∴t≤-1．…（9分）
（Ⅲ）由（I）知f（x）=x，∴h（x）=

lnx

x

-x2+2ex-m
∴討論函數(shù)h（x）=

lnx

x

-x2+2ex-m的零點(diǎn)的個數(shù)，即討論方程

lnx

x

=x2-2ex+m根的個數(shù)．
令f₁（x）=

lnx

x

，f₂（x）=x²-2ex+m，
∵f1′(x)=

1-lnx

x2

，
∴當(dāng)x∈（0，e）時，f₁′（x）＞0，∴f₁（x）在（0，e）上為增函數(shù)；
當(dāng)x∈（e，+∞）時，f₁′（x）＜0，∴f₁（x）在（e，+∞）上為減函數(shù)，
∴當(dāng)x=e時，f₁（x）_max=f₁（e）=

1

e

而f₂（x）=（x-e）²+m-e²，
∴函數(shù)f₁（x）、f₂（x）在同一坐標(biāo)系的大致圖象如圖所示，
∴①當(dāng)m-e²＞

1

e

，即m＞e2+

1

e

時，方程無解．函數(shù)h（x）沒有零點(diǎn)；---（10分）
②當(dāng)m-e²=

1

e

，即m=e2+

1

e

時，方程有一個根．函數(shù)h（x）有1個零點(diǎn)…（11分）
③當(dāng)m-e²＜

1

e

，即m＜e2+

1

e

時，方程有兩個根．函數(shù)h（x）有2個零點(diǎn)．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的奇偶性，考查恒成立問題，考查函數(shù)的零點(diǎn)，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．