Question

自然狀態(tài)下魚類是一種可再生資源，為持續(xù)利用這一資源，需從宏觀上考察其再生能力及捕撈強度對魚群總量的影響，用x_n表示某魚群在第n年年初的總量，n∈N⁺，且x₁＞0．不考慮其他因素，設在第n年內(nèi)魚群的繁殖量及被捕撈量都與x_n成正比，死亡量與x_n²成正比，這些比例系數(shù)依次為正常數(shù)a，b，c．
（1）求x_n+1與x_n的關系式；
（2）猜測：當且僅當x₁，a，b，c滿足什么條件時，每年年初魚群的總量保持不變？（不要求證明）

Answer 1

考點：數(shù)列的應用

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用題中的關系求出魚群的繁殖量，被捕撈量和死亡量就可得到x_n+1與x_n的關系式；
（2）每年年初魚群的總量保持不變就是x_n恒等于x₁，轉(zhuǎn)化為x_n+1-x_n=0恒成立，再利用（1）的結論，就可找到x₁，a，b，c所滿足的條件．

解答： 解：（1）從第n年初到第n+1年初，魚群的繁殖量為ax_n，被捕撈量為bx_n，死亡量為cx_n²，
因此x_n+1-x_n=ax_n-bx_n-cx_n²，n∈N*．（*）
即x_n+1=x_n（a-b+1-cx_n），n∈N*．（**）
（2）若每年年初魚群總量保持不變，則x_n恒等于x₁，n∈N*，
從而由（*）式得x_n（a-b-cx_n）恒等于0，n∈N*，
所以a-b-x₁=0．即x₁=

a-b

c

．
因為x₁＞0，所以a＞b．
猜測：當且僅當a＞b，且x₁=

a-b

c

．每年年初魚群的總量保持不變．

點評：本題考查數(shù)列的遞推關系，著重考查化歸思想與抽象思維、創(chuàng)新思維，突出歸納法在推理、證明中的應用，屬于中檔題．