【題目】已知正數(shù)x、y滿足xy=x+y+3.
(1)求xy的范圍;
(2)求x+y的范圍.
【答案】
(1)解:∵正數(shù)x、y滿足x+y+3=xy,
∴xy=x+y+3≥3+2 ,即xy﹣2 ﹣3≥0,可以變形為( ﹣3)( +1)≥0,
∴ ≥3,即xy≥9,
當(dāng)且僅當(dāng)x=y=3時取等號,
∴xy的范圍是[9,+∞)
(2)解:∵x、y均為正數(shù),
∴x+y≥2 ,則xy≤ ,
∴x+y+3=xy≤ ,即(x+y)2﹣4(x+y)﹣12≥0,
化簡可得,(x+y+2)(x+y﹣6)≥0,
∴x+y≥6,
當(dāng)且僅當(dāng)x=y=3時取等號,
∴x+y的范圍是[6,+∞)
【解析】(1)根據(jù)x+y≥2 ,將xy=x+y+3中的x+y消去,然后解不等式可求出xy的范圍,注意等號成立的條件;(2)根據(jù)xy≤ ,將xy=x+y+3中的xy消去,然后解不等式可求出x+y的范圍,注意等號成立的條件.
【考點精析】通過靈活運用基本不等式在最值問題中的應(yīng)用,掌握用基本不等式求最值時(積定和最小,和定積最大),要注意滿足三個條件“一正、二定、三相等”即可以解答此題.
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【題目】選修4-5:不等式選講
已知不等式的對任意實數(shù)恒成立.
(Ⅰ)求實數(shù)的最小值;
(Ⅱ)若,且滿足,求證:.
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【題目】如圖,四棱錐中,側(cè)面底面, , , , , ,點在棱上,且,點在棱上,且平面.
(1)求證: 平面;
(2)求二面角的余弦值.
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【題目】如圖1,在矩形ABCD中, ,點分別在邊上,且, 交于點.現(xiàn)將沿折起,使得平面平面,得到圖2.
(Ⅰ)在圖2中,求證: ;
(Ⅱ)若點是線段上的一動點,問點在什么位置時,二面角的余弦值為.
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【題目】已知由甲、乙兩位男生和丙、丁兩位女生組成的四人沖關(guān)小組,參加由安徽衛(wèi)視推出的大型戶外競技類活動《男生女生向前沖》.活動共有四關(guān),若四關(guān)都闖過,則闖關(guān)成功,否則落水失敗.設(shè)男生闖過一至四關(guān)的概率依次是,女生闖過一至四關(guān)的概率依次是.
(Ⅰ)求男生甲闖關(guān)失敗的概率;
(Ⅱ)設(shè)表示四人沖關(guān)小組闖關(guān)成功的人數(shù),求隨機(jī)變量的分布列和期望.
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【題目】已知函數(shù)(其中,為常數(shù)且)在處取得極值.
(Ⅰ)當(dāng)時,求的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若在上的最大值為1,求的值.
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【題目】在ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知
(1)求 的值;
(2)若 ,b=2,求△ABC的面積S.
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【題目】過點作直線分別交軸的正半軸于兩點.
(Ⅰ)當(dāng)取最小值時,求出最小值及直線的方程;
(Ⅱ)當(dāng)取最小值時,求出最小值及直線的方程;
(Ⅲ)當(dāng)取最小值時,求出最小值及直線的方程.
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【題目】已知直線: 與軸的交點是橢圓: 的一個焦點.
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線與橢圓交于、兩點,是否存在使得以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
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