Question

已知f（x）=x²，-1≤x₀＜x₁＜x₂＜…＜x_n≤1，a_n=|f（x_n）-f（x_n-1）|，n∈N^*，S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n，則S_n的最大值等于

 

．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法

分析：根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性，討論x_k的值，去掉絕對值，即可得到結(jié)論．

解答： 解：設x_k=0，
則當-1≤x₀＜x₁＜x₂＜…＜x_k，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，此時a_n=|f（x_n）-f（x_n-1）|=-f（x_n）+f（x_n-1），
則a₁+a₂+a₃+…+axk=f（x₀）-f（x_k）≤1，
當x_k＜x_k+1＜x_k+2＜…＜x_n≤1此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，此時a_n=|f（x_n）-f（x_n-1）|=f（x_n）-f（x_n-1），
則a_k+a_k+1+…+a_n=f（x_n）-f（x_k）≤1，
則S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n≤1+1=2，
故S_n的最大值等于2，
故答案為：2

點評：本題主要考查數(shù)列的前n項和的計算，根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解決本題的關鍵，綜合性較強，有一定的難度．