Question

數(shù)列{a_n}中，a₁=1，S_n是{a_n}的前n項和，且S_n+1=S_n+n，n∈N^*．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若bn=

1

Sn+1-1

，求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（III）若cn=n•2an+1，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由S_n+1=S_n+n，n∈N^*得a_n+1=S_n+1-S_n=n，由此能求出數(shù)列{b_n}的通項公式．
（Ⅱ）由S₁=a₁=1，S_n+1=S_n+n，利用疊加法得Sn=1+

n(n-1)

2

，由此得到數(shù)列{b_n}的通項公式．
（III）cn=n•2an+1=n•2n，T_n=1×2+2×2²+3×2³++（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，再由錯位相減求和法能得到數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

解答：解：（Ⅰ）由S_n+1=S_n+n，n∈N^*得a_n+1=S_n+1-S_n=n
所以an=

1，n=1 n-1，n≥2

，（3分）
（Ⅱ）由S₁=a₁=1，S_n+1=S_n+n，利用疊加法得Sn=1+

n(n-1)

2

（6分）
bn=

1

Sn+1-1

=

2

n(n+1)

（8分）
（III）cn=n•2an+1=n•2n（9分）
T_n=1×2+2×2²+3×2³++（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ①
2T_n=，1×2²+2×2³++（n-2）•2^n-2+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹②
①-②得-Tn=2+22+23++2n-n•2n+1=

2-2n×2

1-2

-n•2n+1T_n
=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．（14分）

點評：本題考查數(shù)列的性質和應用，解題時要認真審題，注意通項公式的求法和裂項求和法的運用．