【題目】如圖1，已知正方形鐵片邊長(zhǎng)為2a米，四邊中點(diǎn)分別為E，F，G，H，沿著虛線剪去大正方形的四個(gè)角，剩余為四個(gè)全等的等腰三角形和一個(gè)正方形ABCD（兩個(gè)正方形中心重合且四邊相互平行），沿正方形ABCD的四邊折起，使E，F，G，H四點(diǎn)重合，記為P點(diǎn)，如圖2，恰好能做成一個(gè)正四棱錐（粘貼損耗不計(jì)），PO⊥底面ABCD，O為正四棱錐底面中心，設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2x米.

（1）若正四棱錐的棱長(zhǎng)都相等，求所圍成的正四棱錐的全面積S；

（2）請(qǐng)寫出正四棱錐的體積V關(guān)于x的函數(shù)，并求V的最大值.

【答案】（1）；（2）. .

【解析】

（1）連接OH交BC于點(diǎn)H′，由正方形ABCD邊長(zhǎng)為2x，所以HH′=a－x.

可得的長(zhǎng)及的長(zhǎng)，由得可得的值，可得正四棱錐的全面積，計(jì)算可得答案；

（2）可得，可得關(guān)于的函數(shù)，對(duì)其求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)可得V的最大值.

解：在圖1中連接OH交BC于點(diǎn)H′，

因?yàn)檎叫?/span>ABCD邊長(zhǎng)為2x，所以HH′=a－x.

在圖2中，OH′=x，PH′=a－x，

由勾股定理得，正四棱錐的高

.

（1）在直角三角形中，，

所以，

由得，，

整理得，，解得（舍去）.

所以，正四棱錐的全面積

平方米.

（2），

所以.

因?yàn)?/span>，設(shè)，

則，

令得，，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上遞增；

當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上遞減.

所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)立方米.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】斐波那契數(shù)列滿足： .若將數(shù)列的每一項(xiàng)按照下圖方法放進(jìn)格子里，每一小格子的邊長(zhǎng)為1，記前項(xiàng)所占的格子的面積之和為，每段螺旋線與其所在的正方形所圍成的扇形面積為，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）

A. B.

C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】我們把活躍網(wǎng)店數(shù)量較多的村莊稱為淘寶村，隨著電子商務(wù)在中國(guó)的發(fā)展，不少農(nóng)村出現(xiàn)了一批專業(yè)的淘寶村，已知某鄉(xiāng)鎮(zhèn)有多個(gè)淘寶村，現(xiàn)從該鄉(xiāng)鎮(zhèn)淘寶村中隨機(jī)抽取家商戶，統(tǒng)計(jì)他們某一周的銷售收入，結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下：

銷售收入（收入）

商戶數(shù)

（1）從這家商戶中按該周銷售收入超過萬元與不超過萬元分為組，按分層抽樣從中抽取家參加經(jīng)驗(yàn)交流會(huì)，并從這家中選家進(jìn)行發(fā)言，求選出的家恰有家銷售收入超過萬元的概率；

（2）若這家商戶中有家商戶入駐兩家網(wǎng)購(gòu)平臺(tái)，其中家銷售收入高于萬元，完成下面的列聯(lián)表，并判斷能否有的把握認(rèn)為“銷售收入是否高于萬元與入駐兩家網(wǎng)購(gòu)平臺(tái)有關(guān)”？

入駐兩家網(wǎng)購(gòu)平臺(tái)

僅入駐一家網(wǎng)購(gòu)平臺(tái)

合計(jì)

銷售收入高于萬元

銷售收入不高于萬元

合計(jì)

附：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示，、是兩個(gè)垃圾中轉(zhuǎn)站，在的正東方向千米處，的南面為居民生活區(qū)．為了妥善處理生活垃圾，政府決定在的北面建一個(gè)垃圾發(fā)電廠．垃圾發(fā)電廠的選址擬滿足以下兩個(gè)要求（、、可看成三個(gè)點(diǎn)）：①垃圾發(fā)電廠到兩個(gè)垃圾中轉(zhuǎn)站的距離與它們每天集中的生活垃圾量成反比，比例系數(shù)相同；②垃圾發(fā)電廠應(yīng)盡量遠(yuǎn)離居民區(qū)（這里參考的指標(biāo)是點(diǎn)到直線的距離要盡可能大）．現(xiàn)估測(cè)得、兩個(gè)中轉(zhuǎn)站每天集中的生活垃圾量分別約為噸和噸．設(shè)．

（1）求（用的表達(dá)式表示）；

（2）垃圾發(fā)電廠該如何選址才能同時(shí)滿足上述要求？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)是等差數(shù)列，公差為，前項(xiàng)和為.

（1）設(shè)，，求的最大值.

（2）設(shè)，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且對(duì)任意的，都有，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某次考試后，對(duì)全班同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)進(jìn)行整理，得到表：

分?jǐn)?shù)段

人數(shù)

5

15

20

10

將以上數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖后，可估計(jì)出本次考試成績(jī)的中位數(shù)是__________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為、，是與的等差中項(xiàng)，其中、、都是正數(shù)，過點(diǎn)和的直線與原點(diǎn)的距離為.

（1）求橢圓的方程；

（2）點(diǎn)是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)，求△面積的最大值；

（3）已知定點(diǎn)，直線與橢圓交于、相異兩點(diǎn).證明：對(duì)任意的，都存在實(shí)數(shù)，使得以線段為直徑的圓過點(diǎn).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù),．

(1)求函數(shù)的極值；

(2)對(duì),不等式都成立,求整數(shù)k的最大值；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某快遞公司收取快遞費(fèi)用的標(biāo)準(zhǔn)是：重量不超過的包裹收費(fèi)元；重量超過的包裹，除收費(fèi)元之外，超過的部分，每超出（不足，按計(jì)算）需再收元.該公司將最近承攬的件包裹的重量統(tǒng)計(jì)如下：

包裹重量（單位： ）

包裹件數(shù)

公司對(duì)近天，每天攬件數(shù)量統(tǒng)計(jì)如下表：

包裹件數(shù)范圍

包裹件數(shù)

（近似處理）

天數(shù)

以上數(shù)據(jù)已做近似處理，并將頻率視為概率.

（1）計(jì)算該公司未來天內(nèi)恰有天攬件數(shù)在之間的概率；

（2）（i）估計(jì)該公司對(duì)每件包裹收取的快遞費(fèi)的平均值；

（ii）公司將快遞費(fèi)的三分之一作為前臺(tái)工作人員的工資和公司利潤(rùn)，剩余的用作其他費(fèi)用.目前前臺(tái)有工作人員人，每人每天攬件不超過件，工資元.公司正在考慮是否將前臺(tái)工作人員裁減人，試計(jì)算裁員前后公司每日利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望，并判斷裁員是否對(duì)提高公司利潤(rùn)更有利？

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