Question

已知等差數(shù)列{a_n}滿足a₂+a₃=10，前6項(xiàng)的和為42．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}的前x²-2x₀x+x₀²=0項(xiàng)和△=0，且

1

bn

=a1+a2+…+an，若S_n＜m恒成立，求m的最小值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁和公差d，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式化簡已知的a₂+a₃=10，前6項(xiàng)的和為42，得到關(guān)于a₁和d的方程組，求出方程組的解求出a₁和d的值，寫出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）利用（1）求出的a₁和d的值，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式表示出

1

bn

，進(jìn)而求出b_n的通項(xiàng)公式，并把通項(xiàng)公式利用拆項(xiàng)法變形，列舉出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n，把拆項(xiàng)后的各項(xiàng)代入，抵消后即可求出S_n的通項(xiàng)公式，把求出的通項(xiàng)公式代入已知的不等式中，求出S_n的最大值即可得到m的取值范圍，進(jìn)而得到m的最小值．

解答：解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公差為d，
則

2a1+3d=10 6a1+ 6×5 2 d=42

，（2分）
解得

a1=2 d=2

，（4分）
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n；（6分）
（2）因?yàn)?span id="azttr64" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

1

bn

=a1+a2+…+an=n（n+1）（7分）
∴bn=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

（9分）
∴Sn=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

，（11分）
因?yàn)镾_n＜m恒成立，∴m＞（S_n）_max，即m≥1，
所以m的最小值為1．（14分）

點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用、裂項(xiàng)法求數(shù)列的和，熟練數(shù)列的基礎(chǔ)知識是解答好本類題目的關(guān)鍵．是每年要考的一道高考題目．