設數(shù)列{an}是一個無窮數(shù)列，記，n∈N*．
（1）若{an}是等差數(shù)列，證明：對于任意的n∈N*，Tn=0；
（2）對任意的n∈N*，若Tn=0，證明：{an}是等差數(shù)列．
【答案】分析：（1）利用遞推式，再寫一式，兩式相減，根據(jù){an}是等差數(shù)列，即可得到結論；
（2）寫出=0，兩式相減，即可證得結論．
解答：證明：（1）∵
∴
兩式相減可得
∵{an}是等差數(shù)列，設其公差為d
∴=0，∴對于任意的n∈N*，Tn=0；
（2）∵=0
∴=0
兩式相減可得an+1-2an+2+an+3=0
∵=0
∴a1-2a2+a3=0
∴an+1-2an+an-1=0
∴{an}是等差數(shù)列．
點評：本題主要考查數(shù)列的遞推式，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

從數(shù)列{an}中取出部分項，并將它們按原來的順序組成一個數(shù)列，稱之為數(shù)列{an}的一個子數(shù)列．設數(shù)列{an}是一個首項為a1、公差為d（d≠0）的無窮等差數(shù)列．
（1）若a1，a2，a5成等比數(shù)列，求其公比q．
（2）若a1=7d，從數(shù)列{an}中取出第2項、第6項作為一個等比數(shù)列的第1項、第2項，試問該數(shù)列是否為{an}的無窮等比子數(shù)列，請說明理由．
（3）若a1=1，從數(shù)列{an}中取出第1項、第m（m≥2）項（設am=t）作為一個等比數(shù)列的第1項、第2項，試問當且僅當t為何值時，該數(shù)列為{an}的無窮等比子數(shù)列，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設數(shù)列{an}是一個公差不為零的等差數(shù)列，已知它的前10項和為110，且a1，a2，a4成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式
（2）若bn=（n+1）an求數(shù)列{
1bn
}的前n項和Tn．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

從數(shù)列{an}中取出部分項，并將它們按原來的順序組成一個數(shù)列，稱為數(shù)列{an}的一個子數(shù)列，設數(shù)列{an}是一個首項為a1，公差為d（d≠0）的無窮等差數(shù)列．
（1）若a1，a2，a5為公比為q的等比數(shù)列，求公比q的值；
（2）若a1=1，d=2，請寫出一個數(shù)列{an}的無窮等比子數(shù)列{bn}；
（3）若a1=7d，{cn}是數(shù)列{an}的一個無窮子數(shù)列，當c1=a2，c2=a6時，試判斷{cn}能否是{an}的無窮等比子數(shù)列，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•奉賢區(qū)二模）數(shù)列{an} 的各項均為正數(shù)，a1=t，k∈N*，k≥1，p＞0，an+an+1+an+2+…+an+k=6pn
（1）當k=1，p=5時，若數(shù)列{an}是成等比數(shù)列，求t的值；
（2）當t=1，k=1時，設Tn=a1+
a2
p
+
a3
p2
+…+
an-1
pn-1
+
an
pn-1
，參照高二教材書上推導等比數(shù)列前n項求和公式的推導方法，求證：數(shù)列
1+p
p
Tn-
an
pn
-6n是一個常數(shù)；
（3）設數(shù)列{an}是一個等比數(shù)列，求t（用p，k的代數(shù)式表示）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設數(shù)列{an}是一個無窮數(shù)列，記Tn=
n+2i=1
2i-1ai+2a1-a3-2n+2an+1，n∈N*．
（1）若{an}是等差數(shù)列，證明：對于任意的n∈N*，Tn=0；
（2）對任意的n∈N*，若Tn=0，證明：{an}是等差數(shù)列．

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