Question

已知向量

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosβ，sinβ），0＜β＜α＜π，設(shè)

c

=（0，1），若

a

+

b

=

c

，求α，β的值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：由于向量

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosβ，sinβ），

c

=（0，1），

a

+

b

=

c

．可得cosα+cosβ=0，
sinα+sinβ=1．因此cosα=-cosβ=cos（π-β），由于0＜β＜α＜π，可得α=π-β＞β，0＜β＜

π

2

．代入sinα+sinβ=1．即可得出．

解答： 解：∵向量

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosβ，sinβ），

c

=（0，1），

a

+

b

=

c

．
∴cosα+cosβ=0，sinα+sinβ=1．
∴cosα=-cosβ=cos（π-β），
∵0＜β＜α＜π，
∴0＜π-β＜π．
∴α=π-β＞β，∴0＜β＜

π

2

．
∴sinα=sin（π-β）=sinβ．
∴2sinβ=1，即sinβ=

1

2

．
∴β=

π

6

．
∴α=

5π

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量的運(yùn)算及相等、誘導(dǎo)公式、正弦余弦函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．