Question

已知△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且tan

A-B

2

=

a-b

a+b

，判斷△ABC的形狀．

Answer 1

考點：正弦定理

專題：三角函數(shù)的求值

分析：當(dāng)A不等于B時，根據(jù)正弦定理化簡已知等式的右邊，然后和差化積后，再利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系弦化切后，兩邊同時除以tan

A-B

2

，得到tan

A+B

2

的值，由A和B都為三角形的內(nèi)角，得到A+B為直角，從而得到三角形為直角三角形；若A=B，根據(jù)“等角對等邊”得到a=b，顯然已知等式成立，此時三角形為等腰三角形，綜上，三角形ABC的形狀為直角三角形或等腰三角形．

解答： 解：當(dāng)A≠B時，根據(jù)正弦定理得：

a-b

a+b

=

sinA-sinB

sinA+sinB

=

2cos A+B 2 sin A-B 2

2sin A+B 2 cos A-B 2

=

tan A-B 2

tan A+B 2

，
∵tan

A-B

2

=

a-b

a+b

，
∴tan

A+B

2

=1，又A和B都為三角形的內(nèi)角，
∴

A+B

2

=

π

4

，
解得A+B=

π

2

，即C=

π

2

，
則△ABC為直角三角形；
當(dāng)A=B時，a=b，tan

A-B

2

=0顯然成立，
則△ABC為等腰三角形，
綜上，△ABC為等腰三角形或直角三角形．

點評：此題考查了三角形形狀的判斷，涉及的知識有正弦定理，和差化積公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，等腰三角形的判定的以及特殊角的三角函數(shù)值，根據(jù)A與B相等與不相等兩種情況分類討論，進(jìn)而得出三角形的形狀．由三角函數(shù)的恒等變形化簡已知的等式得到tan

A+B

2

的值是解本題的關(guān)鍵．