Question

3．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+3，數(shù)列{b_n}中，b₁=1，且點（b_n+1，b_n）在直線y=x-1上．
（Ⅰ）證明：數(shù)列{a_n+3}為等比數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（Ⅲ）若c_n=a_n+3，求數(shù)列{b_nc_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （I）由a_n+1=2a_n+3，變形為a_n+1+3=2（a_n+3），即可證明；
（II）由（1）可得：a_n+3=4×2^n-1，可得a_n．由于點（b_n+1，b_n）在直線y=x-1上．b_n=b_n+1-1，利用等差數(shù)列的通項公式即可得出．
（III）c_n=a_n+3=2ⁿ⁺¹，可得b_nc_n=n•2ⁿ⁺¹．再利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 （I）證明：∵a_n+1=2a_n+3，變形為a_n+1+3=2（a_n+3），
∴數(shù)列{a_n+3}為等比數(shù)列，首項為4，公比為2；
（II）解：由（1）可得：a_n+3=4×2^n-1，∴a_n=2ⁿ⁺¹-3．
∵點（b_n+1，b_n）在直線y=x-1上．
∴b_n=b_n+1-1，化為b_n+1-b_n=1，
∴數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，首項為1，公差為1．
∴b_n=1+（n-1）=n．
（III）解：c_n=a_n+3=2ⁿ⁺¹，
∴b_nc_n=n•2ⁿ⁺¹．
∴數(shù)列{b_nc_n}的前n項和S_n=1×2²+2×2³+3•2⁴…+n•2ⁿ⁺¹．
∴2S_n=2³+2×2⁴+…+（n-1）•2ⁿ⁺¹+n•2ⁿ⁺²，
∴-S_n=2²+2³+…+2ⁿ⁺¹-n•2ⁿ⁺²=$\frac{4（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n•2ⁿ⁺²=（1-n）•2ⁿ⁺²-4，
∴S_n=（n-1）•2ⁿ⁺²+4．

點評 本題考查了遞推公式、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、“錯位相減法”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．