Question

在△ABC中，已知下列條件，解三角形．
（1）A=

π

6

，a=25，b=50

2

；
（2）A=

π

6

，a=

50 6

3

，b=50

2

；
（3）A=

π

6

，a=50，b=50

2

．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理

專題：解三角形

分析：（1）△ABC中，由條件利用正弦定理求得sinB的值，可得B不存在，從而得出結(jié)論．
（2）△ABC中，由條件利用正弦定理求得sinB的值結(jié)合大邊對(duì)大角求得B的值，再利用三角形內(nèi)角和公式求得C，利用余弦定理求得c的值．
（3））△ABC中，由條件利用正弦定理求得sinB的值結(jié)合大邊對(duì)大角求得B的值，再利用三角形內(nèi)角和公式求得C的值，再利用兩角和差的余弦公式求得cosC的值，利用余弦定理求得c的值．

解答： 解：（1）△ABC中，由A=

π

6

，a=25，b=50

2

，利用正弦定理可得

a

sinA

=

b

sinB

，
即

25

1 2

=

50 2

sinB

，求得sinB=

2

（舍去），故B不存在，故△ABC無(wú)解．
（2）△ABC中，由A=

π

6

，a=

50 6

3

，b=50

2

，利用正弦定理可得

a

sinA

=

b

sinB

，
即 

50 6 3

1 2

=

50 2

sinB

，求得sinB=

3

2

，再由a＜b可得 A＜B，∴B=

π

3

或 B=

2π

3

．
當(dāng)B=

π

3

時(shí)，C=π-A-B=

π

2

，c=

a2+b2

=

10 6

3

；
當(dāng)B=

2π

3

時(shí)，C=π-A-B=

π

6

，c=a=

50 6

3

．
（3）△ABC中，由A=

π

6

，a=50，b=50

2

，利用正弦定理可得

a

sinA

=

b

sinB

，
即

50

1 2

=

50 2

sinB

，求得sinB=

2

2

，再由a＜b可得 A＜B，∴B=

π

4

或B=

3π

4

，
當(dāng)B=

π

4

時(shí)，C=π-A-B=

7π

12

，cosC=cos（

π

3

+

π

4

）=cos

π

3

cos

π

4

-sin

π

3

sin

π

4

=

1

2

•

2

2

-

3

2

•

2

2

=

2 - 6

4

，
c=

a2+b2-2ab•cosC

=50

2+ 3

．
當(dāng)B=

3π

4

時(shí)，C=π-A-B=

π

12

，cosC=cos（

π

3

-

π

4

）=cos

π

3

cos

π

4

+sin

π

3

sin

π

4

=

1

2

•

2

2

+

3

2

•

2

2

=

2 + 6

4

，
c=

a2+b2-2ab•cosC

=50

2- 3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，三角形內(nèi)角和公式、兩角和差的余弦公式，大邊對(duì)大角，屬于中檔題．