Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+，g（x）=，a是常數(shù)．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若g（x）有極大值，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）對函數(shù)f（x）求導(dǎo)，當(dāng)導(dǎo)數(shù)f'（x）大于0時可求單調(diào)增區(qū)間，當(dāng)導(dǎo)數(shù)f'（x）小于0時可求單調(diào)減區(qū)間．
（2）先對a分情況求出g（x）的定義域，再在區(qū)間（0，1）和區(qū)間（1，+∞）上研究函數(shù)的單調(diào)性，進而研究極值的存在性，即可求出a的范圍．
解答：解：（1）f′（x）=-=
設(shè)h（x）=x²-（2a+1）x+a²，其判別式△=4a+1，
①當(dāng)a≤-時，△≤0，f′（x）≥0，f（x）在定義域（0，+∞）上是增函數(shù)；
當(dāng)△＞0時，由h（x）=x²-（2a+1）x+a²=0解得：x₁=，x₂=（每個根1分）
②當(dāng)-＜a＜0時，△＞0，2a+1＞0；此時，x₂＞x₁＞0，即h（x）在定義域（0，+∞）上有兩個零點x₁=，x₂=
在區(qū)間（0，x₁）上，h（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）為（0，x₁）上的增函數(shù)
在區(qū)間（x₁，x₂）上，h（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）為（x₁，x₂）上的增函數(shù)
在區(qū)間（x₂，+∞）上，h（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）為（x₂，+∞）上的增函數(shù)．
③當(dāng)a=0時，x₁=0，x₂=1，在區(qū)間（0，1）上，h（x）＜0，f′（x）＜0；在區(qū)間（1，+∞）上，h（x）＞0，f′（x）＞0，…（7分）
④當(dāng)a＞0時，函數(shù)f（X）的定義域是（0，a）∪（a，+∞），
∵h(yuǎn)（a）=-a＜0，h（x）在（0，a）上有零點x₁，在（a，+∞）上有零點x₂；
在區(qū)間（0，x₁）和（x₂，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）在（0，x₁）和（x₂，+∞）上為增函數(shù)；
在區(qū)間（x₁，a）和（a，x₂）上，f′（x）＜0，f（x）在（x₁，a）和（a，x₂）上為減函數(shù)．
綜上：當(dāng)a≤-時，函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間是（0，+∞）；當(dāng)-＜a＜0時，f（x）的遞增區(qū)間是（0，x₁）和（x₂，+∞），遞減區(qū)間是（x₁，x₂）；當(dāng)a=0時，f（x）的遞減區(qū)間是（0，1）；遞增區(qū)間是（1，+∞）；當(dāng)a＞0時，f（x）的遞減區(qū)間（x₁，a）和（a，x₂），遞增區(qū)間是（0，x₁）和（x₂，+∞）．
（2）當(dāng)a≤0時，g（x）的定義域是（0，+∞）；當(dāng)a＞0時，f（x）的定義域是（0，a）∪（a，+∞），
g′（x）=，令t（x）=x（1-lnx），則t′（x）=-lnx（每個導(dǎo)數(shù)1分）
在區(qū)間（0，1）上，t′（x）=-lnx＞0，t（x）=x（1-lnx）是增函數(shù)且0＜t（x）＜1；
在區(qū)間（1，+∞）上，t′（x）=-lnx＜0，t（x）=x（1-lnx）是減函數(shù)且t（x）＜1；
當(dāng)x=1時，t（1）=1．
故當(dāng)a≥1時，g′（x）≤0，g（x）無極大值；
當(dāng)0＜a＜1時，t（a）-a≠0，方程t（x）=a在區(qū)間（0，1）和（1，+∞）上分別有一解x′，x″，
此時函數(shù)g（x）在x=x″處取得極大值；
當(dāng)a≤0時，方程t（x）=a在區(qū)間[e，+∞）上有一解x•，此時函數(shù)g（x）在x=x•處取得極大值．
綜上所述，若g（x）有極大值，則a的取值范圍是（-∞，1）．
點評：本題主要考查通過求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來確定函數(shù)增減區(qū)間的問題，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值問題，有一定的綜合性．