Question

8．下列結(jié)論正確的是（　�。�

• A． 若數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，S_n=n²+n+1，則{a_n}為的等差數(shù)列
• B． 若數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，S_n=2ⁿ-2，則{a_n}為等比數(shù)列
• C． 非零實數(shù)a，b，c不全相等，若a，b，c成等差數(shù)列，則$\frac{1}{a}$，$\frac{1}$，$\frac{1}{c}$可能構(gòu)成等差數(shù)列
• D． 非零實數(shù)a，b，c不全相等，若a，b，c成等比數(shù)列，則$\frac{1}{a}$，$\frac{1}$，$\frac{1}{c}$一定構(gòu)成等比數(shù)列

Answer 1

分析 在A中，由${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$，得到{a_n}不為的等差數(shù)列；在B中，由a₁=S₁=2-2=0，得到{a_n}不為等比數(shù)列；在C中，若$\frac{1}{a}$，$\frac{1}$，$\frac{1}{c}$構(gòu)成等差數(shù)列，能推導(dǎo)出a=c，與非零實數(shù)a，b，c不全相等矛盾，從而$\frac{1}{a}$，$\frac{1}$，$\frac{1}{c}$不可能構(gòu)成等差數(shù)列；在在D中，若a，b，c成等比數(shù)列，則$\frac{1}{^{2}}=\frac{1}{ac}$=$\frac{1}{a}×\frac{1}{c}$，$\frac{1}{a}$，$\frac{1}$，$\frac{1}{c}$一定成等比數(shù)列．

解答 解：在A中，∵數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，S_n=n²+n+1，
∴a₁=S₁=1+1+1=3，
a_n=S_n-S_n-1=（n²+n+1）-[（n-1）²+（n-1）+1]=2n，
n=1時，a_n=2≠a₁，故{a_n}不為的等差數(shù)列，故A錯誤；
在B中，∵數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，S_n=2ⁿ-2，
∴a₁=S₁=2-2=0，
∴{a_n}不為等比數(shù)列，故B錯誤；
在C中，若$\frac{1}{a}$，$\frac{1}$，$\frac{1}{c}$構(gòu)成等差數(shù)列，則$\frac{2}=\frac{1}{a}+\frac{1}{c}$=$\frac{a+c}{ac}$=$\frac{2b}{ac}$，
∴b²=ac，∴ac=（$\frac{a+c}{2}$）²=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}+2ac}{4}$，∴a=c，繼而a=c=b，與非零實數(shù)a，b，c不全相等矛盾，
∴$\frac{1}{a}$，$\frac{1}$，$\frac{1}{c}$不可能構(gòu)成等差數(shù)列，故C錯誤；
在D中，∵非零實數(shù)a，b，c不全相等，a，b，c成等比數(shù)列，
∴b²=ac，∴$\frac{1}{^{2}}=\frac{1}{ac}$=$\frac{1}{a}×\frac{1}{c}$，
∴$\frac{1}{a}$，$\frac{1}$，$\frac{1}{c}$一定成等比數(shù)列，故D正確．
故選：D．

點評 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的判斷，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)，公式${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$的合理運用．