已知函數(shù)f(x)=
1
2
sin2x(
1
tan
x
2
-tan
x
2
)+
3
2
cos2x．
（1）求f（x）的單調(diào)的遞減區(qū)間；
（2）若f(x)=
1
2
，求x的值．
分析：（1）利用三角函數(shù)的恒等變換化簡函數(shù)f（x）的解析式為sin（2x+
π
3
），令 2kπ+
π
2
≤2x+
π
3
≤2kπ+
3π
2
，k∈z，求得x的范圍，即可求得f（x）的單調(diào)的遞減區(qū)間．
（2）由f(x)=
1
2
，可得sin（2x+
π
3
）=
1
2
，故 2x+
π
3
=2kπ+
π
6
，或2x+
π
3
=2kπ+
5π
6
，k∈z，由此求得x的值．
解答：解：（1）∵函數(shù)f(x)=
1
2
sin2x(
1
tan
x
2
-tan
x
2
)+
3
2
cos2x=
1
2
sin2x•
cosx
1
2
sinx
+
3
2
cos2x=
1
2
sin2x+
3
2
cos2x=sin（2x+
π
3
），
令 2kπ+
π
2
≤2x+
π
3
≤2kπ+
3π
2
，k∈z，解得 kπ+
π
12
≤2x+
π
3
≤kπ+
7π
12
，k∈z，
故f（x）的單調(diào)的遞減區(qū)間為[kπ+
π
12
，kπ+
7π
12
]，k∈z．
（2）由f(x)=
1
2
，可得sin（2x+
π
3
）=
1
2
，故 2x+
π
3
=2kπ+
π
6
，或2x+
π
3
=2kπ+
5π
6
，k∈z．
解得 x=kπ-
π
12
，或 x=kπ+
π
4
，k∈z．
點評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，正弦函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，根據(jù)三角函數(shù)的值求角，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）、已知函數(shù)f(x)=
1+
2
cos(2x-
π
4
)
sin(x+
π
2
)
．若角α在第一象限且cosα=
3
5
，求f(α)．
（2）函數(shù)f(x)=2cos2x-2
3
sinxcosx的圖象按向量
m
=(
π
6
，-1)平移后，得到一個函數(shù)g（x）的圖象，求g（x）的解析式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=(1-
a
x
)ex，若同時滿足條件：
①?x0∈（0，+∞），x0為f（x）的一個極大值點；
②?x∈（8，+∞），f（x）＞0．
則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1+lnx
x
．
（1）如果a＞0，函數(shù)在區(qū)間(a，a+
1
2
)上存在極值，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)x≥1時，不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1+
1
x
，(x＞1)
x2+1，(-1≤x≤1)
2x+3，(x＜-1)
．
（1）求f(
1
2
-1
)與f（f（1））的值；
（2）若f(a)=
3
2
，求a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義在D上的函數(shù)f（x）如果滿足：對任意x∈D，存在常數(shù)M＞0，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)f（x）的上界．已知函數(shù)f(x)=
1-m•2x1+m•2x
．
（1）m=1時，求函數(shù)f（x）在（-∞，0）上的值域，并判斷f（x）在（-∞，0）上是否為有界函數(shù)，請說明理由；
（2）若函數(shù)f（x）在[0，1]上是以3為上界的有界函數(shù)，求m的取值范圍．

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