Question

6．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，橢圓C的長軸長為4．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知直線l：y=kx+$\sqrt{3}$與橢圓C交于A，B兩點，是否存在實數k使得以線段AB為直徑的圓恰好經過坐標原點O？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設橢圓的焦半距為c，則由題設，得：$\left\{\begin{array}{l}2a=4\\ e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right.$，解得a，b，c值，可得橢圓C的方程；
（2）設點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），將直線l 的方程y=kx+$\sqrt{3}$代入$\frac{y2}{4}$+x²=1，利用韋達定理，及向量垂直的充要條件，可求出滿足條件的k值．

解答 解：（1）設橢圓的焦半距為c，則由題設，得：$\left\{\begin{array}{l}2a=4\\ e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ c=\sqrt{3}\end{array}\right.$所以b²=a²-c²=4-3=1，
故所求橢圓C的方程為$\frac{{y}^{2}}{4}$+x²=1．
（2）存在實數k使得以線段AB為直徑的圓恰好經過坐標原點O．
理由如下：
設點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
將直線l 的方程y=kx+$\sqrt{3}$代入$\frac{y2}{4}$+x²=1，
并整理，得（k²+4）x²+2 $\sqrt{3}$kx-1=0．（*）
則x₁+x₂=-$\frac{2\sqrt{3}k}{{k}^{2}+4}$，x₁x₂=-$\frac{1}{{k}^{2}+4}$．
因為以線段AB為直徑的圓恰好經過坐標原點O，
所以$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，即x₁x₂+y₁y₂=0．
又y₁y₂=k²x₁x₂+$\sqrt{3}$k（x₁+x₂）+3，
于是-$\frac{1+{k}^{2}}{{k}^{2}+4}$-$\frac{6{k}^{2}}{{k}^{2}+4}$+3=0，解得k=±$\frac{\sqrt{11}}{2}$，
經檢驗知：此時（*）式的△＞0，符合題意．
所以當k=±$\frac{\sqrt{11}}{2}$時，以線段AB為直徑的圓恰好經過坐標原點O．

點評 本題考查的知識點是橢圓的標準方程，直線與圓錐曲線的關系，向量垂直的充要條件，難度中檔．