已知復(fù)數(shù)z=
3
2
-
1
2
i，ω=
2
2
+
2
2
i．復(fù)數(shù)
.
zω
，z2ω3在復(fù)數(shù)平面上所對應(yīng)的點分別為P，Q．
證明△OPQ是等腰直角三角形（其中O為原點）．
解法一：z=
3
2
-
1
2
i=cos(-
π
6
)+isin(-
π
6
)，ω=
2
2
+
2
2
i=cos
π
4
+isin
π
4

于是zω=cos
π
12
+isin
π
12
，
.
zω
=cos(-
π
12
)+isin(-
π
12
)，z2ω3=[cos(-
π
3
)+isin(-
π
3
)]×(cos
3π
4
+isin
3π
4
)=cos
5π
12
+isin
5π
12

因為OP與OQ的夾角為
5π
12
-(-
π
12
)=
π
2
，所以O(shè)P⊥OQ．
因為|OP|=|
.
z?
|=1．|OQ|=|z2?3|=1，所以|OP|=|OQ|
由此知△OPQ有兩邊相等且其夾角為直角，故△OPQ為等腰直角三角形．
解法二：
因為z=
3
2
-
1
2
i=cos(-
π
6
)+isin(-
π
6
)，所以z3=-i．
因為ω=
2
2
+
2
2
i=cos
π
4
+isin
π
4
，所以ω4=-1
于是
z2ω3
.
zω
=
z2ω3
.
zω
•
zω
zω
=
z3ω4
|z|2|ω|2
=i
由此得OP⊥OQ，|OP|=|OQ|．
由此知△OPQ有兩邊相等且其夾角為直角，故△OPQ為等腰直角三角形．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知復(fù)數(shù)z滿足|z-1-2i|-|z+2+i|=3
2
（i是虛數(shù)單位），若在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點為Z，則點Z的軌跡為（　　）
A、雙曲線的一支B、雙曲線
C、一條射線D、兩條射線

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

學(xué)已知復(fù)數(shù)z滿足(1+
3
i)z=i，則z=（　�。�
A、
3
2
-
i
2
B、
3
2
+
i
2
C、
3
4
-
i
4
D、
3
4
+
i
4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知復(fù)數(shù)z滿足z•（1-i）=2-i（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z=
3
2
+
1
2
i
3
2
+
1
2
i
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知復(fù)數(shù)z=（2-i）•（1+i），則該復(fù)數(shù)z的模等于（　　）
A、
5
B、
6
C、
10
D、3
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知復(fù)數(shù)z=
2+i
1-i
（其中i為虛數(shù)單位），則z=（　�。�
A、
1
2
+
3
2
i
B、
1
2
-
3
2
i
C、1+
3
2
i
D、
3
2
+
3
2
i

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