已知函數(shù)f(x)=2sinxcosx+2
3
sin2x-
3
,將y=f(x)的圖象向左平移
π
6
個(gè)單位,再向上平移1個(gè)單位,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,若函數(shù)y=g(x)在[a,b]上至少含有1012個(gè)零點(diǎn),則b-a的最小值為
 
考點(diǎn):函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換
專題:三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)
分析:根據(jù)函數(shù)圖象平移的公式,得出函數(shù)g(x)的解析式為g(x)=2sin2x+1.由此解g(x)=0得sin2x=-
1
2
,利用正弦函數(shù)的圖象解出x,可見g(x)在每個(gè)周期上恰有兩個(gè)零點(diǎn),若g(x)在[0,b]上至少含有10個(gè)零點(diǎn),則b大于或等于g(x)在原點(diǎn)右側(cè)的第10個(gè)零點(diǎn),由此即可算出b的最小值,可得b-a的最小值.
解答: 解:函數(shù)f(x)=2sinxcosx+2
3
sin2x-
3
=sin2x+-
3
cos2x=2sin(2x-
π
3
),
y=f(x)的圖象向左平移
π
6
個(gè)單位,再向上平移1個(gè)單位,得到函數(shù)y=g(x)=2sin[2(x+
π
6
)-
π
3
]+1
=2sin2x+1的圖象,由題意可得,g(x)在[a,b]上至少含有1012個(gè)零點(diǎn).
令g(x)=0,得sin2x=-
1
2
,可得2x=2kπ+
6
,或2x=2kπ+
11π
6
,k∈z.
求得x=kπ+
12
,或x=kπ+
11π
12

函數(shù)g(x)在每個(gè)周期上恰有兩個(gè)零點(diǎn),
若y=g(x)在[0,b]上至少含有1012個(gè)零點(diǎn),則b不小于第1012個(gè)零點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可,
故b的最小值為 505π+
11π
12
=
6071π
12
,故b-a的最小值為
6071π
12
-
12
=
1516
3
π

故答案為:
1516
3
π
點(diǎn)評(píng):本題給出三角函數(shù)式滿足的條件,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間并依此求解函數(shù)g(x)在[0,b]上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)的問題.著重考查了二倍角的三角函數(shù)公式、輔助角公式與三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí),屬于中檔題.
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過拋物線y=
1
4
x2的焦點(diǎn)F作斜率為k的弦AB,
(1)若k=0,求 
1
AF
+
1
BF
的值;
(2)當(dāng)k變化時(shí),求證 
1
AF
+
1
BF
為一定值.

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y=|sinx|+|cosx|的最小正周期為(  )
A、
π
4
B、
π
2
C、π
D、2π

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tan
6
=
 

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A、-1≤m<0B、0≤m≤1
C、m≥1D、0<m≤1

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下列計(jì)算正確的是(  )
A、3-1=3
B、tan30°=
3
3
C、π0=1π
D、|-a3|2=a5

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