Question

【題目】定義在D上的函數(shù)f（x）如果滿足：對任意x∈D，存在常數(shù)M≥0，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)f（x）的一個上界．已知函數(shù)，．

（1）求函數(shù)f（x）在區(qū)間上的所有上界構(gòu)成的集合；

（2）若函數(shù)g（x）在[0，+∞）上是以7為上界的有界函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）[3，+∞）, （2）[﹣9，5]

【解析】

（1）首先求出函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)性，再根據(jù)單調(diào)性即可求出函數(shù)的值域，從而求出函數(shù)在區(qū)間上的所有上界構(gòu)成的集合.

（2）將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，通過換元法求出相應(yīng)的最值即可求出的取值范圍.

（1），

由復合函數(shù)的單調(diào)性法則易知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，

∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，

∴函數(shù)在區(qū)間上的值域為，

∴，

∴函數(shù)在區(qū)間上的所有上界構(gòu)成的集合為.

（2）由題意知，在上恒成立，即，

則，

∴在上恒成立，

設(shè)， ，.

易知，在上為增函數(shù)，故，

由知，當時，，為減函數(shù)，

故，

綜上，實數(shù)的取值范圍為.