Question

某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，固定成本為20000元，每生產(chǎn)一單位的產(chǎn)品，成本增加100元，若總收入R與年產(chǎn)量x的關(guān)系是R（x）=

- x3 900 +400x，0≤x≤390 90090，x＞390

，則當(dāng)總利潤最大時，每年生產(chǎn)產(chǎn)品的單位數(shù)是（　�。�

• A、150
• B、200
• C、250
• D、300

Answer 1

考點：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：

分析：先根據(jù)“利潤=收入-成本”列出總利潤關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，由題意這是一個分段函數(shù)，再分別求出當(dāng)0≤x≤390，及x＞390時的總利潤的最大值，通過比較得到整個函數(shù)的最大值．

解答： 解：由題意當(dāng)年產(chǎn)量為x時，總成本為20000+100x，
又總收入R與年產(chǎn)量x的關(guān)系是R（x）=

- x3 900 +400x，0≤x≤390 90090，x＞390

，
∴總利潤Q（x）=

- x3 900 +400x-20000-100x， 0≤x≤390 90090-20000-100x，   x＞390

，即Q（x）=

- x3 900 +300x-20000，0≤x≤390 -100x+70090，    x＞390

①當(dāng)0≤x≤390時，Q′（x）=-

x2

300

+300，令Q′（x）=0得x=300，
由Q′（x）＜0得300＜x≤390，此時Q（x）是減函數(shù)，
由Q′（x）＞0得0＜x＜300，此時Q（x）是增函數(shù)，
∴當(dāng)0≤x≤390時，Q（x）_max=Q（300）=40000（元）；
②當(dāng)x＞390時，Q（x）=-100x+70090是減函數(shù)，∴Q（x）＜Q（390）=31090（元）；
∴當(dāng)x=300時，Q（x）的最大值為40000．
故選D

點評：這是一個分段函數(shù)的實際應(yīng)用題，先借助于“利潤=收入-成本”列出利潤函數(shù)解析式，然后按照分段函數(shù)分段處理的原則求出每一段上的最值，再通過比較得到函數(shù)在定義域上的最值．