Question

已知等差數(shù)列{a_n}公差不為0，且a₃=5，a₁，a₂，a₅成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b₁+2b₂+2²b₃+…+2^n-1b_n=a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）在等差數(shù)列{a_n}中，設其公差為d，（d≠0），依題意可得（5-2d）（5+2d）=（5-d）²，解之可求得d，從而可得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）由b₁+2b₂+2²b₃+…+2^n-1b_n=a_n，可得b₁+2b₂+2²b₃+…+2^n-1b_n+2ⁿb_n+1=a_n+1，兩式相減得：2ⁿb_n+1=2，可求得b_n，繼而可求得b_n的前n項和T_n．

解答： 解：（1）在等差數(shù)列{a_n}中，設其公差為d，（d≠0），
∵a₁a₅=a22，a₃=5，∴（a₃-2d）（a₃+2d）=a22，即（5-2d）（5+2d）=（5-d）²，…2分
化簡得5d²-10d=0，
∴d=2…4分
∴a_n=a₃+（n-3）d=5+2（n-3）=2n-1…7分
（2）∵b₁+2b₂+2²b₃+…+2^n-1b_n=a_n，①
∴b₁+2b₂+2²b₃+…+2^n-1b_n+2ⁿb_n+1=a_n+1，②
②-①得：2ⁿb_n+1=2，
∴b_n+1=2^1-n…10分
當n=1時，b₁=a₁=1，
∴b_n=

22-n，n≥2 1，n=1

…12分
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=1+1+

1

2

+

1

22

+…+

1

22-n

=1+

1-( 1 2 )n-1

1- 1 2

=3-

1

2n-2

…14分

點評：本題考查數(shù)列的求和，著重考查等比數(shù)列的性質(zhì)與求和公式的應用，考查運算求解能力，屬于難題．