如圖所示，多面體中，是梯形，，是矩形，平面平面，，.

（1）求證：平面；

（2）若是棱上一點，平面，求；

（3）求二面角的平面角的余弦值.

 

【答案】

（1）見解析    （2）.  （3）.

【解析】(1)易證：，再根據(jù)平面ACFE平面ABCD,利用面面垂直的性質(zhì)定理轉(zhuǎn)化為.

(2)連接BD，交AC于O點，若則.從而再根據(jù)O的位置確定M的位置求出EM的長度.

(3)以C為原點，CA、CB、CF分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系C-xyz,然后分別求出平面BEF和平面EFD的法向量，利用向量法求二面角B-EF-D的平面角的余弦值

（1）平面，，從而.又因為面，平面平面，所以平面.

（2）連接，記，在梯形中，因為，，所以，，，從而.又因為，，所以.連接，由平面得，因為是矩形，所以.

（3）以為原點，、、分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，則，，，，，，設平面的一個法向量為，則有，即，解得.

同理可得平面的一個法向量為，觀察知二面角的平面角為銳角，所以其余弦值為.

 

練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)在如圖所示的多面體中，已知正方形ABCD和
直角梯形BDEF所在的平面互相垂直，EF∥BD，
ED⊥BD，AD=
2
，EF=ED=1，點P為線段
EF上任意一點．
（Ⅰ）求證：CF⊥AP；
（Ⅱ）求二面角B-AF-E的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在如圖所示的多面體中，已知正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直，BC⊥AC，EF∥AC，AB=
2
，EF=EC=1．
（1）求證：AF∥平面BDE；
（2）求證：DF⊥平面BEF；
（3）求二面角A-BF-E的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在如圖所示的多面體中，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長均為2，四邊形ABCD是菱形．
（1）求證：AD⊥平面BCC1B1
（2）求該多面體的體積．

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在如圖所示的多面體中，AA1∥BB1，CC1⊥AC，CC1⊥BC．
（1）求證：CC1⊥AB；
（2）求證：CC1∥AA1．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖所示的多面體中，已知直角梯形ABCD和矩形CDEF所在的平面互相垂直，AD⊥DC，AB∥DC，AB=AD=DE=4，CD=8．
（Ⅰ）證明：BD⊥平面BCF；
（Ⅱ）設二面角E-BC-F的平面角為θ，求cosθ的值；
（Ⅲ）M為AD的中點，在DE上是否存在一點P，使得MP∥平面BCE？若存在，求出DP的長；若不存在，請說明理由．

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