Question

已知在平面直角坐標系中的一個橢圓，它的中心在原點，左焦點為，右頂點為，設點．

（Ⅰ）求該橢圓的標準方程；

（Ⅱ）過原點的直線交橢圓于點，求面積的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）求橢圓標準方程的基本方法是待定系數(shù)法，具體解法是先確定焦點的位置，然后再根據(jù)條件建立關于a，b的方程組．（Ⅱ）與圓錐曲線相關的最值、范圍問題綜合性較強，解決的思路有兩種：一是由題目中的限制條件求范圍，如直線與圓錐曲線的位置關系中Δ的范圍，方程中變量的范圍，角度的大小等；二是將要討論的幾何量如長度、面積、代數(shù)式等用參數(shù)表示出來，再對表達式進行討論，應用不等式、三角函數(shù)等知識求最值，在解題過程中注意向量，不等式的應用．

試題解析：（Ⅰ）由已知得橢圓的半長軸，半焦距，則半短軸．

又橢圓的焦點在軸上，∴橢圓的標準方程為． 4分

（Ⅱ）當直線垂直于軸時，，因此的面積．

當直線不垂直于軸時，該直線方程為，代入，

解得B（,），C（－,－），

則，又點A到直線的距離，

∴△ABC的面積．

于是．

由，得，其中當時，等號成立．

∴的最大值是． 10分

考點：橢圓方程及綜合問題