Question

已知圓C：x²+y²=4，直線l過點(diǎn)P（1，2），且與圓C交于A，B兩點(diǎn)，若，求直線l的方程．

Answer 1

解：分兩種情況考慮：
（i）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)（或直線l與x軸垂直），
由P（1，2），得到直線l為x=1，
該直線與圓x²+y²=4相交于兩點(diǎn)A（1，），B（1，-），
滿足|AB|=2，符合題意；
（ii）當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的斜率為k，
由P（1，2），得到直線l方程為y-2=k（x-1），即kx-y+（2-k）=0，
由圓的方程x²+y²=4，得到圓心坐標(biāo)為（0，0），半徑r=2，
∴圓心到直線l的距離d=，又|AB|=2，
∴d²+（）²=r²，即（）²+（）²=4，
整理得：-4k=-3，解得：k=，
此時(shí)直線l的方程為x-y+（2-）=0，即3x-4y+5=0，
綜上，直線l的方程為x=1或3x-4y+5=0．
分析：分兩種情況考慮：當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，根據(jù)直線l過P點(diǎn)，由P的坐標(biāo)得出直線l的方程為x=1，經(jīng)驗(yàn)證滿足題意；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)出斜率為k，由P及k表示出直線l的方程，根據(jù)圓的方程找出半徑r=2及圓心坐標(biāo)，再利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到直線l的距離d，進(jìn)而由弦長(zhǎng)的一半，圓的半徑r及弦心距d，利用勾股定理列出關(guān)于k的方程，求出方程的解得到k的值，可得出此時(shí)直線l的方程，綜上，得到所有滿足題意的直線l的方程．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，涉及的知識(shí)有：直線的點(diǎn)斜式方程，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，勾股定理，垂徑定理，以及點(diǎn)到直線的距離公式，利用了分類討論的思想，當(dāng)直線與圓相交時(shí)，常常根據(jù)垂徑定理由垂直得中點(diǎn)，進(jìn)而由弦長(zhǎng)的一半，圓的半徑及弦心距構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理來解決問題．