Question

近日，國(guó)家經(jīng)貿(mào)委發(fā)出了關(guān)于深入開展增產(chǎn)節(jié)約運(yùn)動(dòng)，大力增產(chǎn)市場(chǎng)適銷對(duì)路產(chǎn)品的通知，并發(fā)布了當(dāng)前國(guó)內(nèi)市場(chǎng)185種適銷工業(yè)品和42種滯銷產(chǎn)品的參考目錄．為此，一公司舉行某產(chǎn)品的促銷活動(dòng)，經(jīng)測(cè)算該產(chǎn)品的銷售量P萬件（生產(chǎn)量與銷售量相等）與促銷費(fèi)用x萬元滿足P=3-

2

x+1

（其中0≤x≤a，a為正常數(shù)）．已知生產(chǎn)該產(chǎn)品還需投入成本（10+2P）萬元（不含促銷費(fèi)用），產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為(4+

20

P

)元/件．
（1）將該產(chǎn)品的利潤(rùn)y萬元表示為促銷費(fèi)用x萬元的函數(shù)；
（2）促銷費(fèi)用投入多少萬元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)產(chǎn)品的利潤(rùn)=銷售額-產(chǎn)品的成本建立函數(shù)關(guān)系；
（2）利用基本不等式可求出該函數(shù)的最值，注意等號(hào)成立的條件．

解答：解：（1）由題意知，y=(4+

20

P

)P-x-(10+2P)，
將P=3-

2

x+1

代入化簡(jiǎn)得：y=16-

4

x+1

-x （0≤x≤a）．…（6分）
（2）y=17-(

4

x+1

+x+1)≤17-2

4 x+1 ×(x+1)

=13，
當(dāng)且僅當(dāng)

4

x+1

=x+1，即x=1時(shí)，上式取等號(hào)．…（9分）
當(dāng)a≥1時(shí)，促銷費(fèi)用投入1萬元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大；
當(dāng)a＜1時(shí)，y=17-(

4

x+1

+x+1)在[0，a]上單調(diào)遞增，
所以x=a時(shí)，函數(shù)有最大值．即促銷費(fèi)用投入a萬元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大．
綜上，當(dāng)a≥1時(shí)，促銷費(fèi)用投入1萬元，廠家的利潤(rùn)最大；
當(dāng)a＜1時(shí)，促銷費(fèi)用投入a萬元，廠家的利潤(rùn)最大．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，以及基本不等式在最值問題中的應(yīng)用，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．