【題目】在多面體中，四邊形是正方形， ， ， ， .

（Ⅰ） 求證： 平面；

（Ⅱ）在線段上確定一點，使得平面與平面所成的角為.

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）當點滿足時，平面與平面所成角的大小為.

【解析】試題分析：（Ⅰ）在中，由正弦定理得得即即，在中，可得即，即，由此可證明平面.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得， 平面，則平面平面

如圖，過點作平面的垂線，以點為坐標原點， ， ， 所在直線分別為軸， 軸， 軸建立空間直角坐標系，求出相應點及向量的坐標，設平面的一個法向量，令，得

.

易知平面的一個法向量.由向量的夾角公式

， 化簡得， .

即當點滿足時，平面與平面所成角的大小為.

試題解析：（Ⅰ） 四邊形是正方形， .

在中， ，即得

，即，在梯形中，過點作，交于點.

， ， ，

在中，可求， ，

， .

又，

平面，

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得， ，

平面，又平面，

平面平面

如圖，過點作平面的垂線，

以點為坐標原點， ， ， 所在直線分別為軸， 軸， 軸建立空間直角坐標系，

則， ， ， ， ， ，.

設， ，則.

設平面的一個法向量，則，

即令，得

.

易知平面的一個法向量.

由已知得 ，

化簡得， .

當點滿足時，平面與平面所成角的大小為.

練習冊系列答案
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【題目】設橢圓： 的左、右焦點分別為，上頂點為，過點與垂直的直線交軸負半軸于點，且.

（Ⅰ）求橢圓的離心率；

（Ⅱ）若過、、三點的圓恰好與直線： 相切，求橢圓的方程；

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【題目】在測試中，客觀題難度的計算公式為，其中為第題的難度， 為答對該題的人數(shù)， 為參加測試的總人數(shù)．現(xiàn)對某校高三年級240名學生進行一次測試，共5道客觀題，測試前根據對學生的了解，預估了每道題的難度，如表所示：

題號

1

2

3

4

5

考前預估難度

0.9

0.8

0.7

0.6

0.4

測試后，從中隨機抽取了20名學生的答題數(shù)據進行統(tǒng)計，結果如表：

（Ⅰ）根據題中數(shù)據，估計中240名學生中第5題的實測答對人數(shù)；

（Ⅱ）從抽樣的20名學生中隨機抽取2名學生，記這2名學生中第5題答對的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望；

（Ⅲ）試題的預估難度和實測難度之間會有偏差．設為第題的實測難度，請用和設計一個統(tǒng)計量，并制定一個標準來判斷本次測試對難度的預估是否合理．

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【題目】如圖，已知正方體的棱長為1，點是棱上的動點，是棱上一點，.

（1）求證：；

（2）若直線平面，試確定點的位置，并證明你的結論；

（3）設點在正方體的上底面上運動，求總能使與垂直的點所形成的軌跡的長度.（直接寫出答案）

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【題目】（題文）（題文）“你低碳了嗎？”這是某市為倡導建設節(jié)約型社會而發(fā)布的公益廣告里的一句話，活動組織者為了了解這則廣告的宣傳效果，隨機抽取了120名年齡在，，…，的市民進行問卷調查，由此得到的樣本的頻率分布直方圖如圖所示.

（1）根據直方圖填寫頻率分布統(tǒng)計表；

（2）根據直方圖，試估計受訪市民年齡的中位數(shù)（保留整數(shù)）；

（3）如果按分層抽樣的方法，在受訪市民樣本年齡在中共抽取5名市民，再從這5人中隨機選2人作為本次活動的獲獎者，求年齡在和的受訪市民恰好各有一人獲獎的概率.

分組

頻數(shù)

頻率

18

0.15

30

0.2

6

0.05

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【題目】大西洋鮭魚每年都要逆流而上，游回產地產卵，經研究發(fā)現(xiàn)鮭魚的游速可以表示為函數(shù)y=log3（），單位是m/s，θ是表示魚的耗氧量的單位數(shù)．

（1）當一條鮭魚的耗氧量是900個單位時，它的游速是多少？

（2）計算一條魚靜止時耗氧量的單位數(shù)。

（3）某條鮭魚想把游速提高1 m/s，那么它的耗氧量的單位數(shù)是原來的多少倍？

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【題目】如圖所示，等腰的底邊，高，點是線段上異于點的動點，點在邊上，且，現(xiàn)沿將△折起到△的位置，使，記， 表示四棱錐的體積．

(1)求的表達式；(2)當為何值時， 取得最大,并求最大值。

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【題目】已知函數(shù)（＞0， ≠1， ≠﹣1），是定義在（﹣1，1）上的奇函數(shù).

（1）求實數(shù)的值；

（2）當=1時，判斷函數(shù)在（﹣1，1）上的單調性，并給出證明；

（3）若且，求實數(shù)的取值范圍.

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（2）求的面積．

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