Question

如右圖，簡(jiǎn)單組合體ABCDPE，其底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD＝2EC.

(1)若N為線段PB的中點(diǎn)，求證：EN⊥平面PDB；

(2)若＝，求平面PBE與平面ABCD所成的銳二面角的大小.

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析；（2）45°.

【解析】本試題主要考查了下年垂直的判定和二面角的求解。第一問中

要證線面垂直，利用線面垂直的判定定理可以得到。第二問中，利用＝，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AD所在的直線為x軸建立空間直角坐標(biāo)系為平面PBE的法向量.

為平面ABCD的法向量，利用向量的夾角公式得到結(jié)論

解：(1)證法1：連結(jié)AC與BD交于點(diǎn)F，連結(jié)NF，

∵F為BD的中點(diǎn)，∴NF∥PD且NF＝PD.

又EC∥PD，且EC＝PD，(2分)

∴NF∥EC，且NF＝EC，∴四邊形NFCE為平行四邊形，

∴NE∥FC.(4分)

∵DB⊥AC，PD⊥平面ABCD，AC⊂面ABCD，∴AC⊥PD.

又PD∩BD＝D，∴AC⊥面PBD，∴NE⊥面PDB.(6分)

證法2：以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AD所在的直線為x軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：設(shè)該簡(jiǎn)單組合體的底面邊長(zhǎng)為1，PD＝a，

則B(1,1,0)，C(0,1,0)，P(0,0，a)，E(0,1，)，N(，，)，

∴＝( ，－，0)，＝(1,1，－a)，＝(1,1,0).

∵·＝×1－×1－a×0＝0，

·＝×1－×1＋0×0＝0，

∴EN⊥PB，EN⊥DB.

∵PB、DB⊂面PDB，且PB∩DB＝B，∴NE⊥面PDB.(6分)

(2)解法1：連結(jié)DN，由(1)知NE⊥面PDB，∴DN⊥NE.

∵＝，DB＝AD，∴PD＝DB，∴DN⊥PB，∴為平面PBE的法向量.

設(shè)AD＝1，則N(，，)，∴＝( ，，).

∵為平面ABCD的法向量，＝(0,0，)，(10分)

設(shè)平面PBE與平面ABCD所成的二面角為θ，則cosθ＝＝＝，

∴θ＝45°，即平面PBE與平面ABCD所成的銳二面角為45°.(12分)

解法2：延長(zhǎng)PE與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，連結(jié)GB，

則GB為平面PBE與平面ABCD的交線.(8分)

∵PD＝2EC，∴CD＝CG＝CB，

∴D、B、G在以C為圓心、以BC為半徑的圓上，

∴DB⊥BG.(9分)

∵PD⊥平面ABCD，BG⊂面ABCD，

∴PD⊥BG，且PD∩DB＝D，∴BG⊥面PDB.

∵PB⊂面PDB，∴BG⊥PB，

∴∠PBD為平面PBE與平面ABCD所成的銳二面角的平面角.(10分)

在Rt△PDB中，∵PD＝DB，

∴∠PBD＝45°，即平面PBE與平面ABCD所成的銳二面角為45°.(12分)