Question

11．已知向量$\overrightarrow{m}$=（a，x+f（x）），$\overrightarrow{n}$=（1，ln（1+e^x）-x），（a∈R），$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$．
（1）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)在函數(shù)y=f（x）的圖象上，從左到右點(diǎn)A，B，C的橫坐標(biāo)依次是x₁，x₂，x₃，且x₁，x₂，x₃成等差數(shù)列，當(dāng)a＞0時(shí)，△ABC能否構(gòu)成等腰三角形？若能，求出△ABC的面積的最大值；若不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用向量共線，求出函數(shù)的解析式，然后利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)區(qū)間．
（2）由（1）可知，a＞0時(shí)，f（x）在區(qū)間（-∞，+∞）上是減函數(shù)，利用反證法說明A、B、C三點(diǎn)不共線，說明B是鈍角，假設(shè)三角形是等腰三角形，推出${e}^{{x}_{1}}={e}^{{x}_{3}}$，與x₁＜x₃矛盾，說明△ABC不可能為等腰三角形．

解答 解：（1）向量$\overrightarrow{m}$=（a，x+f（x）），$\overrightarrow{n}$=（1，ln（1+e^x）-x），（a∈R），$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$．
可得x+f（x）=aln（1+e^x）-ax，
即f（x）=aln（1+e^x）-ax-x，
當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=-x，函數(shù)是減函數(shù)，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為R．
f′（x）=$\frac{{ae}^{x}}{1+{e}^{x}}$-a-1=$\frac{-a}{1+{e}^{x}}$-1．
∵1+e^x＞2，
∴當(dāng)a＞-2時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)是減函數(shù)，單調(diào)減區(qū)間是R．
當(dāng)a＜-2時(shí)，$\frac{-a}{1+{e}^{x}}$-1=0，可得-a=1+e^x，解得x=ln（-1-a）．
當(dāng)x＞ln（-1-a）時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)是增函數(shù)，單調(diào)增區(qū)間是（ln（-1-a），+∞），
當(dāng)x＜ln（-1-a）時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)是減函數(shù)，單調(diào)減區(qū)間是（-∞，ln（-1-a））；
（2）由（1）可知，a＞0時(shí)，f（x）在區(qū)間（-∞，+∞）上是減函數(shù)，
∵A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），C（x₃，f（x₃）），∴不妨設(shè)x₁＜x₂＜x₃，可得f（x₁）＞f（x₂）＞f（x₃），${x}_{2}=\frac{{x}_{1}+{x}_{3}}{2}$，
下面利用反證法說明A、B、C三點(diǎn)不共線，若三點(diǎn)共線，則有：f（x₂）=$\frac{1}{2}$（f（x₁）+f（x₃）），所以$2{e}^{{x}_{2}}={e}^{{x}_{1}}+{e}^{{x}_{3}}≥2\sqrt{{e}^{{x}_{1}}•{e}^{{x}_{3}}}$，得x₁=x₃與x₁＜x₂＜x₃，矛盾，
接下來說明B是鈍角：$\overrightarrow{BA}$=（x₁-x₂，f（x₁）-f（x₂）），$\overrightarrow{BC}$=（x₃-x₂，f（x₃）-f（x₂）），∴$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$=（x₁-x₂）（x₃-x₂）+（f（x₁）-f（x₂））（f（x₃）-f（x₂））∵x₁-x₂＜0，x₃-x₂＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，f（x₃）-f（x₂）＜0，∴$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}＜0$．可得B∈$（\frac{π}{2}，π）$
，即△ABC中B為鈍角；
假設(shè)三角形是等腰三角形，只能是$\left|\overrightarrow{BA}\right|=\left|\overrightarrow{BC}\right|$，即$（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+[f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）]^{2}$=$（{x}_{3}-{x}_{2}）^{2}+[f（{x}_{3}）-f（{x}_{2}）]^{2}$，
∵x₃-x₂=x₂-x₁，∴${[f（{x}_{3}）-f（{x}_{2}）]}^{2}={[f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）]}^{2}$，結(jié)合f（x₁）＞f（x₂）＞f（x₃），化簡(jiǎn)可得；2f（x₂）=f（x₁）+f（x₃），也就是：2aln（1+${e}^{{x}_{2}}$）-2（a+1）x₂=aln（1+${e}^{{x}_{1}}$）（1+${e}^{{x}_{3}}$）-（a+1）（x₁+x₃），將${x}_{2}=\frac{{x}_{1}+{x}_{3}}{2}$代入可得，2aln（1+${e}^{{x}_{2}}$）-2（a+1）x₂=aln（1+${e}^{{x}_{1}}$）（1+${e}^{{x}_{3}}$）-2（a+1）x₂，
∴2ln（1+${e}^{{x}_{2}}$）=ln（1+${e}^{{x}_{1}}$）（1+${e}^{{x}_{3}}$）
可得（1+${e}^{{x}_{2}}$）²=（1+${e}^{{x}_{1}}$）（1+${e}^{{x}_{3}}$），化簡(jiǎn)可得：${e}^{2{x}_{2}}+2{e}^{{x}_{2}}={e}^{{x}_{1}+{x}_{3}}+{e}^{{x}_{1}}+{e}^{{x}_{3}}$即${e}^{2{x}_{2}}={e}^{{x}_{1}}+{e}^{{x}_{3}}①$而事實(shí)上，若①成立，根據(jù)${e}^{{x}_{1}}+{e}^{{x}_{3}}≥2\sqrt{{e}^{{x}_{1}}•{e}^{{x}_{3}}}$=$2{e}^{{x}_{2}}$，必然得到${e}^{{x}_{1}}={e}^{{x}_{3}}$，與x₁＜x₃矛盾，所以△ABC不可能為等腰三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，反證法的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，分類討論思想的應(yīng)用．