Question

在平面直角坐標系xOy中，Ω是一個平面點集，如果存在非零平面向量

a

，對于任意P∈Ω，均有Q∈Ω，使得

OQ

=

OP

+

a

，則稱

a

為平面點集Ω的一個向量周期．現有以下四個命題：
①若平面點集Ω存在向量周期

a

，則k

a

（k∈Z，k≠0）也是Ω的向量周期；
②若平面點集Ω形成的平面圖形的面積是一個非零常數，則Ω不存在向量周期；
③若平面點集Ω={（x，y）|x＞0，y＞0}，則

b

=（1，2）為Ω的一個向量周期；
④若平面點集Ω={（x，y）|[y]-[x]=0}（[m]表示不大于m的最大整數），則

c

=（1，1）為Ω的一個向量周期．
其中真命題是

 

（寫出所有真命題的序號）．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：平面向量及應用

分析：利用向量周期的意義和向量共線定理即可得出．

解答： 解：由向量周期的意義可知：存在非零平面向量

a

，對于任意P∈Ω（Ω為平面內的一個點集），均有Q∈Ω，
使得

OQ

=

OP

+

a

，即

PQ

=

a

，稱

a

為平面點集Ω的一個向量周期．
①∵平面點集Ω存在向量周期

a

，∴對于任意P（x₁，y₁）∈Ω，
均有Q（x₂，y₂）∈Ω，（x_i，y_i＞0，i=1，2），使得

OQ

=

OP

+

a

，
∴k

OQ

=k

OP

+k

a

（k≠0），即k（x₂，y₂）=k（x₁，y₁）+k

a

（k≠0），
亦即（kx₂，ky₂）=（kx₁，ky₁）+k

a

（k≠0），
因此k

a

為平面點集Ω的一個向量周期，因此①正確；
②若平面點集Ω存在向量周期

a

，由①知，k

a

也為平面點集Ω的一個向量周期，
與已知“平面點集Ω形成的平面圖形的面積是一個非零常數”矛盾，
故Ω不存在向量周期，因此②正確；
③若平面點集Ω={（x，y）|x＞0，y＞0}，假設對于任意P（x₁，y₁）∈Ω，
均有Q（x₂，y₂）∈Ω，（x_i，y_i＞0，i=1，2），使得

PQ

=

b

=（1，2），
則

x2-x1=1 y2-y1=2

，解得

x2=x1+1 y2=y1+2

則x₂=x₁+1＞0，y₂=y₁+2＞0，滿足x＞0，y＞0的條件，因此③正確；
④由平面點集Ω={（x，y）|[y]-[x]=0}，假設對于任意P（x₁，y₁）∈Ω，
均有Q（x₂，y₂）∈Ω，（x_i，y_i＞0，i=1，2），使得

PQ

=

c

=（1，1），
可知：

x2-x1=1 y2-y1=1

，∴[y₂]-[x₂]=[y₁]+1-[x₁]+1=0，
則

c

=（1，1）為Ω的一個向量周期．因此④正確．
綜上可知：①②③④正確．
故答案為：①②③④．

點評：本題考查了新定義、向量周期、向量的運算及其共線定理，考查了推理能力和解決實際問題的能力，屬于難題．