以F1(-2
2
,0),F(xiàn)2(2
2
,0)為焦點的橢圓E:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)經(jīng)過點M(
2
,
30
3
),斜率為1的直線l與E相交于A、B兩點,以AB為底邊作等腰三角形,頂點為P(-3,2)
(1)求E的方程;
(2)求l的方程.
分析:(1)根據(jù)橢圓焦點坐標(biāo),可知c=2
2
,利用橢圓的定義可求出a的值,再根據(jù)b2=a2-c2求出b的值,即可求出橢圓E的方程;
(2)設(shè)出直線l的方程和點A,B的坐標(biāo),聯(lián)立方程,消去y,根據(jù)等腰△PAB,求出直線l方程.
解答:解:(1)由已知得,c=2
2
,
又2a=MF1+MF2=4
3

解得a=2
3
,又b2=a2-c2=4,
所以橢圓E的方程為
x2
12
+
y2
4
=1

(2)設(shè)直線l的方程為y=x+m,
y=x+m
x2
12
+
y2
4
=1
得4x2+6mx+3m2-12=0.①
設(shè)A,B的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2)(x1<x2),AB的中點為E(x0,y0),
則x0=
x1+x2
2
=-
3m
4
,
y0=x0+m=
m
4
,
因為AB是等腰△PAB的底邊,
所以PE⊥AB,
所以PE的斜率k=
2-
m
4
-3+
3m
4
=-1,
解得m=2.
故l的方程為:y=x+2.
點評:此題是個中檔題.考查待定系數(shù)法求橢圓的方程和橢圓簡單的幾何性質(zhì),以及直線與橢圓的位置關(guān)系,同時也考查了學(xué)生觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解決問題的能力.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C以F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0)為焦點,且離心率e=
2
2

(Ⅰ)求橢圓C的方程
(Ⅱ)過M(0 , 
2
)
點斜率為k的直線l1與橢圓C有兩個不同交點P、Q,求k的范圍
(Ⅲ)設(shè)橢圓C與x軸正半軸、y軸正半軸的交點分別為A、B,是否存在直線l1,滿足(Ⅱ)中的條件且使得向量
OP
+
OQ
AB
垂直?如果存在,寫出l1的方程;如果不存在,請說明理由

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1以F1(-2,0)和F2(2,0)為焦點,離心率e=
2
2

(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)過作斜率為1的直線交橢圓于A,B兩點,∠AOB=90°,求弦AB的長;并求△AOB的面積.(其中O為坐標(biāo)原點)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓E:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),以F1(-c,0)為圓心,以a-c為半徑作圓F1,過點B2(0,b)作圓F1的兩條切線,設(shè)切點為M、N.
(1)若過兩個切點M、N的直線恰好經(jīng)過點B1(0,-b)時,求此橢圓的離心率;
(2)若直線MN的斜率為-1,且原點到直線MN的距離為4(
2
-1),求此時的橢圓方程;
(3)是否存在橢圓E,使得直線MN的斜率k在區(qū)間(-
2
2
,-
3
3
)內(nèi)取值?若存在,求出橢圓E的離心率e的取值范圍;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1以F1(-2,0)和F2(2,0)為焦點,離心率e=
2
2

(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)過作斜率為1的直線交橢圓于A,B兩點,∠AOB=90°,求弦AB的長;并求△AOB的面積.(其中O為坐標(biāo)原點)

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