Question

14．橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁、F₂，若以F₁F₂為直徑的圓與橢圓有交點，則橢圓離心率e的取值范圍為（　�。�

• A． [$\frac{1}{2}$，1）
• B． [$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，1）
• C． （0，$\frac{1}{2}$]
• D． （0，$\frac{{\sqrt{2}}}{2}}$]

Answer 1

分析 通過聯(lián)立圓與橢圓方程，利用根的判別式為非負數(shù)，計算即得結論．

解答 解：由題可知以F₁F₂為直徑的圓的方程為：x²+y²=c²，
將其代入橢圓方程，消去y可得：（a²-b²）x²+a²b²-a²c²=0，
∵圓與橢圓有交點，
∴△=0-4（a²-b²）（a²b²-a²c²）≥0，
∴c²•a²•（a²-2c²）≤0，
∴a²≤2c²，即e=$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}$≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又橢圓斜率e＜1，∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤e＜1，
故選：B．

點評 本題考查圓與圓錐曲線的位置關系，注意解題方法的積累，屬于中檔題．