Question

設(shè)，（a，b為常數(shù)）．當(dāng)x＞0時(shí)，F(xiàn)（x）=f（x），且F（x）為R上的奇函數(shù)．
（Ⅰ）若，且f（x）的最小值為0，求F（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，在[2，4]上是單調(diào)函數(shù)，求k的取值范圍．

Answer 1

解：（1）f（x）=alog₂²x+blog₂x+1
由得a-b+1=0，
∴f（x）=alog₂²x+（a+1）log₂x+1
若a=0則f（x）=log₂x+1無最小值．
∴a≠0．
欲使f（x）取最小值為0，只能使，知a=1，b=2．
∴f（x）=log₂²x+2log₂x+
設(shè)x＜0則-x＞0，
∴F（x）=f（-x）=log₂²（-x）+2log₂（-x）+1
又F（-x）=-F（x），
∴F（x）=-log₂²（-x）-2log₂（-x）-1
又F（0）=0∴
（2）=．x∈[2，4]．
得log₂x=t．則，t∈[1，2]．
∴當(dāng)k≤0，或或時(shí)，y為單調(diào)函數(shù)．
綜上，k≤1或k≥4．
分析：（1）根據(jù)可消去b，再由f（x）的最小值為0確定f（x）的解析式，最后求出F（x）的解析式．
（2）根據(jù)（1）先將g（x）的解析式化簡為，再將t=log₂x代入進(jìn)行換元，可得答案．
點(diǎn)評：主要考查求函數(shù)解析式的問題．本題屬于較難類型的題．