6.已知函數(shù)f(x)=$\frac{{p{x^2}+1}}{x+q}$是奇函數(shù),且f(2)=$\frac{5}{2}$.
(1)求實(shí)數(shù)p,q的值;
(2)判斷f(x)在[1,+∞)上的單調(diào)性,并證明你的結(jié)論;
(3)若對(duì)任意的t≥1,試比較f(t2-t+1)與f(2t2-t)的大。

分析 (1)根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)和條件建立方程關(guān)系即可求實(shí)數(shù)p,q的值;
(2)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可證明f(x)在[1,+∞)上的單調(diào)性;
(3)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行比較即可.

解答 解:(1)∵f(x)是奇函數(shù),∴f(-x)=-f(x)
∴$\frac{{p{{({-x})}^2}+1}}{-x+q}=-\frac{{p{x^2}+1}}{x+q}$恒成立,
∴q=0…(1分)
又∵f(2)=$\frac{5}{2}$.∴$\frac{4p+1}{2}=\frac{5}{2}$
∴p=1…(3分)
(2)∵$f(x)=x+\frac{1}{x}$,
任取x1,x2∈[1,+∞),且x1<x2,
則f(x1)-f(x2)=$({x_1}+\frac{1}{x_1})-({x_2}+\frac{1}{x_2})=({x_1}-{x_2})(1-\frac{1}{{{x_1}•{x_2}}})=\frac{{({x_1}-{x_2})({x_1}•{x_2}-1)}}{{{x_1}•{x_2}}}$…(6分)
∵1≤x1<x2<+∞
∴x1-x2<0,x1•x2>1,∴x1•x2-1>0
∴$\frac{{({x_1}-{x_2})({x_1}•{x_2}-1)}}{{{x_1}•{x_2}}}<0$,即f(x1)<f(x2).
∴f(x)在[1,+∞)上為增函數(shù)…(8分)
(3)∵y1=t2-t+1的對(duì)稱軸為$t=\frac{1}{2}$,
∴y1=t2-t+1在[1,+∞)上單調(diào)遞增,∴y1≥1-1+1=1…(9分)
又∵${y_2}=2{t^2}-t$的對(duì)稱軸為$t=\frac{1}{2}$,
∵${y_2}=2{t^2}-t=2{(t-\frac{1}{4})^2}-\frac{1}{8}$在[1,+∞)上單調(diào)遞增,
∴y2≥2-1=1…(10分)
又∴${y_2}-{y_1}=(2{t^2}-t)-({t^2}-t+1)={t^2}-1≥0$,(t≥1)
∴y2≥y1,…(12分)
又∵f(x)在(1,+∞)上的單調(diào)遞增,
∴f(y2)≥f(y1
即f(t2-t+1)≤f(2t2-t)…(13分)

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)解析式的求解,函數(shù)單調(diào)性的判斷和應(yīng)用,利用一元二次函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

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2.已知函數(shù)f(x)=a-$\frac{2}{x}$,若不等式f(x)<x在區(qū)間[c,+∞)(c為正常數(shù))上恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為$\left\{\begin{array}{l}{a<2\sqrt{2}\\;0<c<\sqrt{2}}\\{a<c+\frac{2}{c}\\;c≥\sqrt{2}}\end{array}\right.$.

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3.已知$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$是不共線的向量,$\overrightarrow{AB}$=λ$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$,$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{a}$+μ$\overrightarrow$(λ、μ∈R),當(dāng)A、B、C三點(diǎn)共線時(shí),λ的取值不可能為( 。
A.1B.0C.-1D.2

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20.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)Sn=(-1)n•$\frac{1}{n}$,若存在正整數(shù)n,使得(an-1-p)•(an-p)<0成立,則實(shí)數(shù)p的取值范圍是$(-1,\frac{3}{2})$.

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1.函數(shù)f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{(a-1)x+\frac{5}{2},x≤1}\\{\frac{2a+1}{x},x>1}\end{array}\right.$,在定義域R上單調(diào)遞減,則a的取值范圍是(-$\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2}$].

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11.某個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題:已知當(dāng)n=3時(shí)該命題不成立,如果當(dāng)n=k(k∈N+)時(shí)命題成立,可推得當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立.那么可推得( 。
A.當(dāng)n=5時(shí)該命題不成立B.當(dāng)n=5時(shí)該命題成立
C.當(dāng)n=2時(shí)該命題不成立D.當(dāng)n=2時(shí)該命題成立

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18.已知向量$\overrightarrow a=(1,1),\overrightarrow b=({x^2},x-2)$,若$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$,則實(shí)數(shù)x的值為( 。
A.-1B.2C.1或-2D.-1或2

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15.已知函數(shù)f(x)=|x-a|,g(x)=ax(a∈R)
(1)若函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,求出實(shí)數(shù)a的值;
(2)若方程f(x)=g(x)有兩解,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)若a>0,記F(x)=g(x)•f(x),求函數(shù)y=F(x) 在區(qū)間[1,2]上的最大值.

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16.(1)已知$f(1+\frac{1}{x})=\frac{1}{x^2}$-1,求f(x)的解析式.
(2)已知f(x)是二次函數(shù),且滿足f(2)=4,f(-3)=4,且f(x)的最小值為2,求f(x)的解析式.

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