Question

已知在等比數(shù)列{a_n}中，a₁=1，且a₂是a₁和a₃-1的等差中項．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（II）若數(shù)列{b_n}滿足，求{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

解：（I）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，
∵a₂是a₁和a₃-1的等差中項，a₁=1，
∴2a₂=a₁+（a₃-1）=a₃，
∴=2，
∴=2^n-1，（n∈N^*）．
（Ⅱ）∵b_n=2n-1+a_n，
∴（2n-1+2^n-1）
=[1+3+5+…+（2n-1）]+（1+2+2²+…+2^n-1）
=+
=n²+2ⁿ-1．
分析：（I）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，由a₂是a₁和a₃-1的等差中項，a₁=1，知2a₂=a₁+（a₃-1）=a₃，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．．
（Ⅱ）由b_n=2n-1+a_n，知（2n-1+2^n-1）=[1+3+5+…+（2n-1）]+（1+2+2²+…+2^n-1），由等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式能求出S_n．
點評：本題考查等差數(shù)列的通項公式的求法和數(shù)列求和的應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，熟練掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式的靈活運(yùn)用．