Question

7．已知橢圓$\frac{x^2}{25}$+$\frac{y^2}{9}$=1的兩個焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，P為橢圓上一點(diǎn)，∠F₁PF₂=θ
（1）求橢圓的長軸長，短軸長，頂點(diǎn)，離心率．
（2）求證：$S_{△{F_1}P{F_2}}$=9tan$\frac{θ}{2}$．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以求出橢圓的長軸長，短軸長，頂點(diǎn)，離心率
（2）由橢圓的定義可得|PF₁|+|PF₂|=2a，再由余弦定理可得|PF₁|²+|PF₂|²-|F₁F₂|²=2|PF₁||PF₂|cosθ，從而可得|PF₁||PF₂|=$\frac{2^{2}}{1+cosθ}$，從而求△F₁PF₂的面積．

解答 解：（1）由橢圓$\frac{x^2}{25}$+$\frac{y^2}{9}$=1，可得a²=25，b²=9，c²=a²-b²=25-9=16，即a=5，b=3，c=4，
則長軸長為2a=10，短軸長2b=6，頂點(diǎn)分別為（5，0），（-5，0），（0，3），（0，-3），
e=$\frac{c}{a}$=$\frac{4}{5}$
（2）由題意，|PF₁|+|PF₂|=2a=10，
又∵|PF₁|²+|PF₂|²-|F₁F₂|²=2|PF₁||PF₂|cosθ，
∴（|PF₁|+|PF₂|）²-|F₁F₂|²=2|PF₁||PF₂|+2|PF₁||PF₂|cosθ，
∴4a²-4c²=2|PF₁||PF₂|（1+cosθ）=4b²=36，
∴|PF₁||PF₂|=$\frac{18}{1+coθ}$，
∴S_△F1PF2=$\frac{1}{2}$|PF₁||PF₂|•sinθ=9•$\frac{sinθ}{1+cosθ}$=9tan$\frac{θ}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的定義及余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題