Question

如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面四邊形ABCD是菱形，AC∩BD=O，△PAC是邊長為2的等邊三角形，PB=PD=

6

，AP=4AF．
（1）求證：PO⊥底面ABCD；
（2）求多面體PBCDF的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關系與距離

分析：（1）證明PO⊥底面ABCD，只需證明PO⊥AC，PO⊥BD；
（2）求出四棱錐P-ABCD的體積、三棱錐F-ABD的體積，即可求出多面體PBCDF的體積．

解答： （1）證明：因為底面ABCD是菱形，AC∩BD=O，
所以O為AC，BD中點．-------------------------------------（1分）
又因為PA=PC，PB=PD，
所以PO⊥AC，PO⊥BD，---------------------------------------（3分）
所以PO⊥底面ABCD．…（5分）
（2）解：由△AB

F

1

是邊長為2的等邊三角形知AC=2，PO=

3

又PB=PD=

6

，所以BO=DO=

3

，BD=2

3

因四邊形ABCD為菱形，所以其面積為

1

2

AC×BD=

1

2

×2×2

3

=2

3

由（1）知四棱錐P-ABCD的體積為

1

3

×2

3

×

3

=2．…（8分）
在AO上取點G，使AG=

1

4

AO，連FG，則FG∥PO
由（1）可知FG⊥平面ABCD
于是三棱錐F-ABD的體積為

1

3

×S△ABD×FG=

1

3

×

3

×

1

4

×

3

=

1

4

故多面體PBCDF的體積為2-

1

4

=

7

4

．…（12分）

點評：本題考查線面垂直，考查了用分割法求多面體的體積，考查了學生的空間想象能力與推理論證能力．