【題目】已知函數(shù)f(x)=2x (x∈R).
(1)討論f(x)的奇偶性;
(2)若2xf(2x)+mf(x)≥0對任意的x∈[0,+∞)恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.

【答案】
(1)解:由題意,x∈R,

由f(﹣x)=2x = ﹣2x=﹣f(x),知f(x)是奇函數(shù)


(2)解:當x=0時,m∈R.

x∈(0,+∞)時,要使 ≥0,

≥0恒成立,

∵x>0時,2x >0恒成立,

∴22x+1+m≥0,即m≥﹣(22x+1),

∴m≥﹣(20+1)=﹣2.

綜上,m∈[﹣2,+∞)


【解析】(1)求出函數(shù)的定義域為R,再由f(﹣x)=﹣f(x)可得函數(shù)f(x)=2x 為奇函數(shù);(2)由2xf(2x)+mf(x)≥0對任意的x∈[0,+∞)恒成立,可得m≥﹣(22x+1),求出22x+1的最大值得答案.
【考點精析】關(guān)于本題考查的函數(shù)的奇偶性,需要了解偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱;奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱才能得出正確答案.

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