Question

【題目】已知函數(shù)，其中

（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若在上存在，使得成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（1）函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與導(dǎo)數(shù)的符號相關(guān)，而函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，故可以根據(jù)的符號討論導(dǎo)數(shù)的符號，從而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（2）若不等式 在 上有解，那么在上， .但在上的單調(diào)性不確定，故需分 三種情況討論.

解析：（1），

①當(dāng)時，在上， 在上單調(diào)遞增；

②當(dāng)時，在上；在上；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

綜上所述，當(dāng)時， 的單調(diào)遞增區(qū)間為，當(dāng)時， 的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.

（2）若在上存在，使得成立，則在上的最小值小于.

①當(dāng)，即時，由（1）可知在上單調(diào)遞增， 在上的最小值為，由，可得，

②當(dāng)，即時，由（1）可知在上單調(diào)遞減， 在上的最小值為，由，可得 ；

③當(dāng)，即時，由（1）可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， 在上的最小值為，因為，所以，即，即，不滿足題意，舍去.

綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.